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相量


工程师和物理学家喜爱的,用指数表示复数的方法

 x+iy=|z|e^(iphi),
(1)

其中 i (工程师称为 j)是虚数复模复角(也称为相位)是

|z|=sqrt(x^2+y^2)
(2)
phi=tan^(-1)(y/x).
(3)

这里,phi(有时也表示为 theta)被称为复角相位。它对应于从实轴逆时针角度,即 phi 的值,使得 x=|z|cosphiy=|z|sinphi。这里使用的特殊反正切考虑了 z 所在的象限,并由以下命令返回FORTRAN命令ATAN2(Y,X)Wolfram 语言 函数ArcTan[x, y],并且通常限制在 -pi<theta<=pi 范围内。在 x=0 的退化情况下,

 phi={-1/2pi   if y<0; undefined   if y=0; 1/2pi   if y>0.
(4)

以下等式是显然成立的

 sum_(i)R[psi_i]=R[sum_(i)psi_i].
(5)

现在考虑一个标量函数 psi=psi_0e^(iphi)。那么

I=[R(psi)]^2
(6)
=[1/2(psi+psi^_)]^2
(7)
=1/4(psi+psi^_)^2
(8)
=1/4(psi^2+2psipsi^_+psi^_^2),
(9)

其中 psi^_复共轭。查看每个项的时间平均值,

<psi^2>=<psi_0^2e^(2iphi)>
(10)
=psi_0^2<e^(2iphi)>
(11)
=0
(12)
<psipsi^_>=<psi_0e^(iphi)psi_0e^(-iphi)>
(13)
=psi_0^2
(14)
=|psi|^2
(15)
<psi^_^2>=<psi_0^2e^(-2iphi)>
(16)
=psi_0^2<e^(-2iphi)>
(17)
=0.
(18)

因此,

 <I>=1/2|psi|^2.
(19)

现在考虑两个标量函数

psi_1=psi_(1,0)e^(i(kr_1+phi_1))
(20)
psi_2=psi_(2,0)e^(i(kr_2+phi_2)).
(21)

那么

I=[R(psi_1)+R(psi_2)]^2
(22)
=1/4[(psi_1+psi^__1)+(psi_2+psi^__2)]^2
(23)
=1/4[(psi_1+psi^__1)^2+(psi_2+psi^__2)^2+2(psi_1psi_2+psi_1psi^__2+psi^__1psi_2+psi^__1psi^__2)]
(24)
<I>=1/4[2psi_1psi^__1+2psi_2psi^__2+2psi_1psi^__2+2psi^__1psi_2]
(25)
=1/2[psi_1(psi^__1+psi^__2)+psi_2(psi^__1+psi^__2)]
(26)
=1/2(psi_1+psi_2)(psi^__1+psi^__2)=1/2|psi_1+psi_2|^2.
(27)

一般来说,

 <I>=1/2|sum_(i=1)^npsi_i|^2.
(28)

另请参阅

Affix, Cis, 复角, 复模, 复数乘法, 复数, 指数函数, 反正切, 相位, 向量大小

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参考文献

Krantz, S. G. "复数的极坐标形式。" §1.2.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 8-10, 1999.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

相量

请引用为

Weisstein, Eric W. “相量。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Phasor.html

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