方向余弦

设 为 角 和 之间的角， 为 角 和 之间的角，且 为 角 和 之间的角。则方向余弦等价于 的 单位向量 的坐标，

从这些定义，可以得到

要找到在方向余弦上执行积分时的 雅可比行列式，请使用

雅可比行列式 是

使用

因此

方向余弦也可以在两组 笛卡尔坐标系 之间定义，

未加撇号坐标在加撇号坐标上的投影产生

以及

加撇号坐标在未加撇号坐标上的投影产生

以及

使用坐标系的 正交性，必然成立

给出恒等式

对于 和 ，以及

对于 。这两个恒等式可以合并成单个恒等式

其中 是 克罗内克 delta。