Tomita-Takesaki 理论

短语 Tomita-Takesaki 理论指的是在 泛函分析 领域内证明的关于 模 Hilbert 代数 理论的一组特定结果，特别是关于 von Neumann 代数 上 模自同构 构造的关键结果。这些结果最初由 Tomita 在 1967 年的两篇未发表的论文中提出，并在 1970 年 Takesaki 的扩展阐述中公之于众。一般构造如下。

给定 von Neumann 代数 在 Hilbert 空间 上，其中包含一个 向量 ，该向量对于 既是 循环的 又是 分离的，可以定义一个 算子 在 上，通过令 对于所有 。这里， 表示 的 对偶。一个直接的计算表明 扩展 到一个 闭 反线性 算子 ，定义在 的一个 稠密 子集 上，并且通过对 应用所谓的 极分解，可以得到

对于唯一算子 (称为模算子) 和 (称为模共轭或模对合) 与 相关联。此外， 是 自对偶的，因此 并且 对于每个 都是一个 酉 算子。

在这种框架下，Tomita-Takesaki 理论基础的主要结果表明，对于任何具有循环分离向量 的 von Neumann 代数 ，， 对于所有 ，并且 ，其中 是 有界 线性算子 在 上的集合，这些算子与 的所有元素 交换。此外，定义一个算子 在元素 上，通过 并取 闭包 为 ，也得到 ，，以及 。

今天存在的 Tomita-Takesaki 模理论从上述结果以及 Tomita 最初提出的许多重要概念开始。从这个结果出发，可以考虑由酉算子 ， 引起的 的单参数 自同构 集合 ，，通过定义

对于所有 和所有 。 这个集合构成了一个群，称为 相对于 的模自同构群，这个群在包括泛函分析和数学物理在内的各个领域都起着重要的作用。

这个模自同构群与现代物理学之间相互作用的一个例子来自于每个 von Neumann 代数 都有一个自然诱导的状态 ，它满足许多关于上述定义的模自同构群的期望性质，其中最重要的是所谓的 Kubo-Martin-Schwinger 边界条件。因此，模自同构群继承了来自量子统计力学和其他相关领域的许多重要性质。