模块化希尔伯特代数

设 为在 域 上的 对合代数，其中 是 复数 域，对合 为 。如果 具有 内积 和一个单参数 自同构群 ，其中 是 上的 自同构，，满足以下条件，则 是一个模块化希尔伯特代数。

1. .

2. 对于所有 ， 在 上是 有界的 (因此是 连续的)。

3. 线性张成 ，即 乘积 ， 的线性组合，是 的 稠密 子代数。

4. 对于所有 , , 满足 。

5. .

6. .

7. 是 在 上的 整函数。

8. 对于每个 实数 ，集合 在 中是稠密的。

群 称为模块化自同构群。

请注意，模块化希尔伯特代数的定义与 广义希尔伯特代数 的定义密切相关，因为每个模块化希尔伯特代数都是广义希尔伯特代数，前提是它满足一个附加条件，即对合 作为实 内积空间 上的 线性算子 是 可闭的。这种关系部分归因于以下事实：这两种结构的性质都位于 Tomita 最初对当今 Tomita-Takesaki 理论 核心内容的阐述之中。