冯·诺伊曼代数

给定一个 希尔伯特空间 ，-子代数 of 被称为 中的冯·诺伊曼代数，当且仅当 等于其 双交换子 (Dixmier 1981)。这里， 表示从 到自身的 有界算子 的 代数。

所谓的双交换子定理的一个重要的推论指出，-非退化 的 子代数是冯·诺伊曼代数，当且仅当它是强闭的。这进一步等价于 和 的许多其他解析性质 (Blackadar 2013)，并且由于其双射等价性，有时被用作冯·诺伊曼代数的定义。在一些文献中， 是单位的假设（即， 包含单位元）被添加到这种等价性的假设中，但严格来说，该结果在 仅是非退化的情况下也成立。

人们可以很容易地证明，每个冯·诺伊曼代数都是一个 W-*-代数，反之亦然；因此，一些文献将冯·诺伊曼代数定义为一个 C-*-代数 ，它承认一个 巴拿赫空间 作为预对偶。尽管这种约定并非闻所未闻，但在关于该主题的文献中却相对罕见。