子流形切空间 -- 来自 Wolfram MathWorld

曲面上一点的切平面是处的切空间（平移到原点后）。切空间的元素称为切向量，并且它们在加法和标量乘法下是封闭的。特别地，切空间是一个向量空间。

任何欧几里得空间的子流形，更一般地，任何抽象流形的子流形，在每个点都有一个切空间。切空间到的集合形成了切丛。向量场将每个点分配给处的切空间中的一个切向量。

定义子流形有两种方法，每种方法都引出一种不同的定义切空间的方法。第一种方法使用参数化，第二种方法使用方程组。

(1)

其中是中的开单位球，并且。在点处，切空间是的雅可比矩阵的像，作为从到的线性变换。例如，考虑单位球

$S^2={(y_1,y_2,y_3):y_1^2+y_2^2+y_3^2=1}$

(2)

在中。那么函数（定义域为 $U={(x_1,x_2):x_1^2+x_2^2<1}$ )

(3)

参数化了北极的邻域。它在处的雅可比矩阵由矩阵给出

(4)

其像是处的切空间，

$TS^2|_((0,0,1))={(a,b,0)}.$

(5)

作为方程组的解集，子流形的另一种描述引出了切向量的另一种描述。考虑一个子流形，它是方程组的解集

其中且的雅可比矩阵，其中，在解到处的秩为。解处的切向量是上述方程（在处）的无穷小解。切向量是的导数（线性化）的解，即，它在雅可比矩阵的零空间中。

在重新计算球体在北极的切空间时考虑此方法。球体是二维的，被描述为单一方程（）的解。设置。我们想要计算解（在北极）处的切空间。在此点的雅可比矩阵是矩阵，其零空间是切空间

$TS^2|_((0,0,1))={(a,b,0)}.$

(9)

切空间看起来似乎取决于参数化的选择，或者取决于方程组的选择。由于函数的组合的雅可比矩阵服从链式法则，因此切空间是良定义的。请注意，微分同胚的雅可比矩阵是可逆线性映射，这些对应于可以更改方程的方式。用于证明切空间是良定义的线性代数的基本事实如下。

1. 如果是可逆的，则的像与的像相同。

2. 如果是可逆的，则的零空间与的零空间相同。更准确地说，。

这些技术适用于任何维度。此外，它们可以推广到抽象流形的子流形，因为切向量取决于局部性质。特别地，可以在任何坐标图表中计算切空间，因为坐标图表中的任何更改都对应于欧几里得空间中的微分同胚。

切空间可以为更高维度的现象提供一些几何见解。例如，为了计算中的环面（甜甜圈）的切空间（它是平坦流形），请注意，它可以通过以下方式参数化，

(10)

定义域为 $U={(x_1,x_2):x_1^2+x_2^2<1}$ ，在点附近。其在处的雅可比矩阵是矩阵

(11)

其像是切空间 $TM|_p={(a,0,b,0)}$ 。

或者，是方程组的解集

			(12)
			(13)

在解处的雅可比矩阵是矩阵

(14)

其零空间是切空间 $TM|_p={(a,0,b,0)}$ 。

子流形切空间