图切空间

从坐标图的角度来看，切空间的概念非常简单。切空间由粒子可以采取的所有方向或速度组成。在 中的开集 中没有约束，因此点 的切空间是 的另一个副本。集合 可以是 维流形的坐标图。

点 的切空间，表示为 ，是通过 的路径的可能速度向量的集合。因此，存在一个规范向量基：如果 是坐标，则 是切空间的基，其中 是一个粒子以单位速度沿坐标 向内移动的速度向量。流形上每个点的所有切向量的集合，称为切丛，是单个粒子在流形 中运动的相空间。

看起来在图 中，点 的切空间与所有其他点的切空间相同。然而，虽然它们确实共享相同的维度并且是同构的，但在坐标变换中，它们失去了规范同构。

例如，设 和 是单位区间 的坐标图。我们可以用 定义的 来改变坐标。这是一个坐标变换，因为导数在 上不消失。但是这种变换不是线性的，并且在 1 附近比在 0 附近更拉伸 。切向量通过导数变换。在 处，它们被拉伸了 倍。而在 处，它们被拉伸了 倍。

一般来说，切向量根据雅可比矩阵变换。点 处的切向量 也可以被视为另一个坐标图上 处的切向量 ，其中 是从一个图到另一个图的微分同胚。由 的雅可比矩阵确定的线性变换是可逆的，因为 是一个微分同胚。

雅可比矩阵和链式法则不仅表明切空间是良好定义的，与坐标图无关，而且还表明切向量可以“前推”。也就是说，给定流形之间的任何光滑映射 ，将 的切向量映射到 的切向量是有意义的。将 写为 在 中的坐标图和 中的坐标图之间的函数，则 将 从 映射到 。 的另一个表示法是 ， 的微分。用张量的语言来说，切向量的前推意味着向量场是一个协变张量。