内蕴切空间

在抽象流形 上一点 的切空间可以被描述，而无需使用嵌入或坐标图。切空间的元素称为切向量，而切空间的集合构成了切丛。

一种描述是在通过点 的光滑路径上建立等价关系。更精确地说，考虑所有光滑映射 ，其中 且 。我们说两个映射 和 是等价的，如果它们一阶一致。也就是说，在点 周围的任何坐标图中，。如果它们在一个图中相似，那么根据链式法则，它们在任何其他图中也相似。一阶一致的概念依赖于坐标图，但这不能完全消除，因为这就是流形的定义方式。

另一种方法是首先将向量场定义为光滑函数环 的导子。然后在点 的切向量是向量场的等价类，这些向量场在 处一致。也就是说，如果对于每个光滑函数 ，，则 。当然，点 的切空间是点 的切向量的向量空间。这个版本的唯一缺点是需要坐标图来证明切空间是 维向量空间。