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谢弗序列

序列 s_n(x) 被称为谢弗序列 当且仅当 其 生成函数 具有以下形式

sum_(k=0)^infty(s_k(x))/(k!)t^k=A(t)e^(xB(t)),
(1)

其中

A(t)=A_0+A_1t+A_2t^2+...
(2)
B(t)=B_1t+B_2t^2+...,
(3)

其中 A_0,B_1!=0。谢弗序列有时也称为幂算子 (Steffensen 1941, Shiu 1982, Di Bucchianico and Loeb 2000)。

如果 f(t) 是一个 delta 级数 且 g(t) 是一个可逆级数，则存在唯一的谢弗多项式序列 s_n(x) 满足正交性条件

<g(t)[f(t)]^k|s_n(x)>=n!delta_(nk),
(4)

其中 delta_(nk) 是 克罗内克 delta (Roman 1984, p. 17)。谢弗序列的常见例子包括 精算多项式、第二类伯努利多项式、布尔多项式、拉盖尔多项式、第一类 和 第二类梅克斯纳多项式、泊松-沙利耶多项式 和 斯特林多项式。

(1,f(t)) 的谢弗序列被称为 f(t) 的关联序列，Roman (1984, pp. 53-86) 总结了关联谢弗序列的性质，并给出了许多具体示例 (阿贝尔多项式、贝尔多项式、中心阶乘、贝尔多项式、下降阶乘、古尔德多项式、马勒多项式、米塔格-莱夫勒多项式、莫特多项式、幂多项式)。 (g(t),t) 的谢弗序列被称为 g(t) 的 阿佩尔序列，Roman (1984, pp. 86-106) 总结了阿佩尔序列的性质，并给出了许多具体示例。

如果 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的谢弗序列，则对于任何多项式 p(x)，

p(x)=sum_(k=0)^infty(<g(t)[f(t)]^k|p(x)>)/(k!)s_k(x).
(5)

序列 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的谢弗序列 当且仅当

1/(g(f^_(t)))e^(yf^_(t))=sum_(k=0)^infty(s_k(y))/(k!)t^k
(6)

对于特征为 0 的域 C 中的所有 y，其中 f^_(t) 是 f(t) 的复合 反函数 (Roman 1984, p. 18)。这个公式立即给出了与给定谢弗序列相关的 生成函数。

对于某些可逆的 g(t)，序列是 (g(t),f(t)) 的谢弗序列 当且仅当

f(t)s_n(x)=ns_(n-1)(x)
(7)

对于所有 n>=0 (Roman 1984, p. 20)。谢弗恒等式指出，对于某些可逆的 f(t)，序列 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的谢弗序列 当且仅当 它满足某种 二项式型序列

s_n(x+y)=sum_(k=0)^n(n; k)p_k(y)s_(n-k)(x)
(8)

对于 C 中的所有 y，其中 p_n(x) 与 f(t) 相关联 (Roman 1984, p. 21)。谢弗序列的 递推关系 由下式给出

s_(n+1)(x)=[x-(g^'(t))/(g(t))]1/(f^'(t))s_n(x)
(9)

(Roman 1984, p. 50)。一个非平凡的 递推关系 由下式给出

s_(n+1)(x)=(x-b_n)s_n(x)-d_ns_(n-1)(x)
(10)

对于 s_(-1)(x)=0、s_0(x)=1 和 n>=0 (Meixner 1934; Sheffer 1939; Chihara 1978; Roman 1984, pp. 156-160)。

表达式中连接系数 c_(nk)

s_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)r_k(n)
(11)

由下式给出

c_(nk)=1/(k!)<(h(f^(-1)(t)))/(g(f^(-1)(t)))[l(f^(-1)(t))]^k|x^n>,
(12)

其中 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的谢弗序列，r_n(x) 是 (h(t),l(t)) 的谢弗序列。这也可以用系数多项式表示

t_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)x^k,
(13)

它是以下形式的谢弗序列

((g(l^(-1)(t)))/(h(l^(-1)(t))),f(l^(-1)(t)))
(14)

(Roman 1984, pp. 132-138)。

形式为 如下形式 的倍增公式

r_n(ax)=sum_(k=0)^nc_(nk)r_k(x)
(15)

由下式给出

c_(nk)=1/(k!)<(h(al^(-1)(t)))/(h(l^(-1)(t)))[l(al^(-1)(t))]^k|x^n>,
(16)

其中 r_n(x) 是 (h(t),l(t)) 的谢弗序列 (Roman 1984, pp. 132-138)。

参见

阿佩尔交叉序列, 阿佩尔序列, 二项式型序列, 交叉序列, 斯蒂芬森序列, 恩布拉演算

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参考资料

Chihara, T. S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. New York: Gordon and Breach, 1978.Di Bucchianico, A. and Loeb, D. "A Selected Survey of Umbral Calculus." Electronic J. Combinatorics Dynamical Survey DS3, 1-34, April 2000. http://www.combinatorics.org/Surveys/#DS3.Meixner, J. "Orthogonale Polynomsystem mit linern besonderen Gestalt der eryengenden Funktion." J. London Math. Soc. 9, 6-13, 1934.Roman, S. "Sheffer Sequences." Ch. 2 and §4.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 2, 6-31, and 107-130, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "On the Foundations of Combinatorial Theory. VIII: Finite Operator Calculus." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sheffer, I. M. "Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero." Duke Math. J. 5, 590-622, 1939.Shiu, E. S. W. "Steffensen's Poweroids." Scand. Actuar. J. 2, 123-128, 1982.Steffensen, J. F. "The Poweroid, an Extension of the Mathematical Notion of Power." Acta Math. 73, 333-366, 1941.

Wolfram|Alpha 参考资料

谢弗序列

引用为

Weisstein, Eric W. “谢弗序列。”来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ShefferSequence.html

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