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降阶乘

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FallingFactorial

降阶乘 (x)_n，有时也表示为 x^(n__) (Graham et al. 1994, p. 48)，定义为

(x)_n=x(x-1)...(x-(n-1))
(1)

对于 n>=0。 也被称为二项式多项式、低阶乘、降阶乘幂（Graham et al. 1994, p. 48）或阶乘幂。

降阶乘与升阶乘 x^((n)) (又名 Pochhammer 符号) 通过下式相关联

(x)_n=(-1)^n(-x)^((n)),
(2)

降阶乘在 Wolfram 语言 中实现为FactorialPower[x, n].

广义降阶乘可以定义为

(x)_n^((h))(x)=x(x-h)...(x-(n-1)h)
(3)

并在 Wolfram 语言 中实现为FactorialPower[x, n, h].

常规阶乘通过下式与降阶乘相关

n!=(n)_n
(4)

(Graham et al. 1994, p. 48)。

在组合数学用法中，降阶乘通常表示为 (x)_n，升阶乘表示为 (x)^((n)) (Comtet 1974, p. 6; Roman 1984, p. 5; Hardy 1999, p. 101)，然而在有限差分微积分和特殊函数理论中，降阶乘表示为 x^((n))，升阶乘表示为 (x)_n (Roman 1984, p. 5; Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987)。 因此，在解释符号 (x)_n 和 x^((n)) 的含义时需要格外小心。在本文中，符号 (x)_n 用于表示降阶乘，这可能会与 Pochhammer 符号混淆。

前几个降阶乘是

(x)_0=1
(5)
(x)_1=x
(6)
(x)_2=x(x-1)
(7)
=x^2-x
(8)
(x)_3=x(x-1)(x-2)
(9)
=x^3-3x^2+2x
(10)
(x)_4=x(x-1)(x-2)(x-3)
(11)
=x^4-6x^3+11x^2-6x
(12)

(OEIS A054654)。

导数由下式给出

d/(dz)(z)_n=(H_z-H_(z-n))(z)_n,
(13)

其中 H_z 是一个调和数。

连接降阶乘 (x)_n 和升阶乘 x^((n)) 的求和公式，

(x)_n=sum_(k=0)^nc_(nk)x^((k)),
(14)

是使用 Sheffer 形式主义给出的，其中

g(t)=1
(15)
f(t)=e^t-1
(16)
h(t)=1
(17)
l(t)=1-e^(-t),
(18)

这给出了生成函数

sum_(n=0)^infty(t_n(x))/(n!)t^n=sum_(n=0)^infty1/(n!)sum_(k=0)^nc_(nk)x^kt^k =e^(tx/(1+t)) =1+xt+1/2(x^2-2x)t^2+1/6(x^3-6x^2+6x)t^3+1/(24)(x^4-12x^3+36x^2-24x)t^4+...,
(19)

其中

t_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)x^k.
(20)

读取系数得到

c_(00)=1 c_(11)=1 c_(10)=0 c_(22)=1 c_(21)=-2 c_(20)=0 c_(33)=1 c_(32)=-6 c_(31)=6 c_(30)=0,
(21)

因此，

(x)_0=x^((0))
(22)
(x)_1=x^((1))
(23)
(x)_2=x^((2))-2x^((1))
(24)
(x)_3=x^((3))-6x^((2))+6x^((1)),
(25)

等等。（并且公式由 Roman 1984, p. 133 给出的是不正确的）。

降阶乘是关联的 Sheffer 序列，具有

f(t)=e^t-1
(26)

(Roman 1984, p. 29)，并具有生成函数

sum_(k=0)^(infty)((x)_k)/(k!)t^k=e^(xln(1+t))
(27)
=(1+t)^x,
(28)

这等价于二项式定理

sum_(k=0)^infty(x; k)t^k=(1+t)^x.
(29)

Sheffer 序列的二项式恒等式是

(x+y)_n=sum_(k=0)^n(n; k)(x)_k(y)_(n-k),
(30)

其中 (n; k) 是一个二项式系数，可以重写为

(x+y; n)=sum_(k=0)^n(x; k)(y; n-k),
(31)

称为 Chu-Vandermonde 恒等式。降阶乘服从以下递推关系

x(x)_n=(x)_(n+1)+n(x)_n
(32)

(Roman 1984, p. 61)。

另请参阅

二项式定理, 中心阶乘, Chu-Vandermonde 恒等式, Pochhammer 符号, 升阶乘, Sheffer 序列, Sigma 多项式

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 101, 1999.Roman, S. "The Lower Factorial Polynomial." §1.2 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 5, 28-29, and 56-63, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A054654 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Pochhammer Polynomials (x)_n." Ch. 18 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 149-165, 1987.

在 中引用

降阶乘

引用为

Weisstein, Eric W. "降阶乘。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/FallingFactorial.html

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