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降阶乘

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FallingFactorial

降阶乘 (x)_n，有时也表示为 x^(n__) (Graham et al. 1994, p. 48)，定义为

(x)_n=x(x-1)...(x-(n-1))
(1)

对于 n>=0。 也被称为二项式多项式、低阶乘、降阶乘幂（Graham et al. 1994, p. 48）或阶乘幂。

降阶乘与升阶乘 x^((n)) (又名 Pochhammer 符号) 通过下式相关联

(x)_n=(-1)^n(-x)^((n)),
(2)

降阶乘在 Wolfram 语言 中实现为FactorialPower[x, n].

广义降阶乘可以定义为

(x)_n^((h))(x)=x(x-h)...(x-(n-1)h)
(3)

并在 Wolfram 语言 中实现为FactorialPower[x, n, h].

常规阶乘通过下式与降阶乘相关

n!=(n)_n
(4)

(Graham et al. 1994, p. 48)。

在组合数学用法中，降阶乘通常表示为 (x)_n，升阶乘表示为 (x)^((n)) (Comtet 1974, p. 6; Roman 1984, p. 5; Hardy 1999, p. 101)，然而在有限差分微积分和特殊函数理论中，降阶乘表示为 x^((n))，升阶乘表示为 (x)_n (Roman 1984, p. 5; Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987)。 因此，在解释符号 (x)_n 和 x^((n)) 的含义时需要格外小心。在本文中，符号 (x)_n 用于表示降阶乘，这可能会与 Pochhammer 符号混淆。

前几个降阶乘是

(x)_0=1
(5)
(x)_1=x
(6)
(x)_2=x(x-1)
(7)
=x^2-x
(8)
(x)_3=x(x-1)(x-2)
(9)
=x^3-3x^2+2x
(10)
(x)_4=x(x-1)(x-2)(x-3)
(11)
=x^4-6x^3+11x^2-6x
(12)

(OEIS A054654)。

导数由下式给出

d/(dz)(z)_n=(H_z-H_(z-n))(z)_n,
(13)

其中 H_z 是一个调和数。

连接降阶乘 (x)_n 和升阶乘 x^((n)) 的求和公式，

(x)_n=sum_(k=0)^nc_(nk)x^((k)),
(14)

是使用 Sheffer 形式主义给出的，其中

g(t)=1
(15)
f(t)=e^t-1
(16)
h(t)=1
(17)
l(t)=1-e^(-t),
(18)

这给出了生成函数

sum_(n=0)^infty(t_n(x))/(n!)t^n=sum_(n=0)^infty1/(n!)sum_(k=0)^nc_(nk)x^kt^k =e^(tx/(1+t)) =1+xt+1/2(x^2-2x)t^2+1/6(x^3-6x^2+6x)t^3+1/(24)(x^4-12x^3+36x^2-24x)t^4+...,
(19)

其中

t_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)x^k.
(20)

读取系数得到

c_(00)=1 c_(11)=1 c_(10)=0 c_(22)=1 c_(21)=-2 c_(20)=0 c_(33)=1 c_(32)=-6 c_(31)=6 c_(30)=0,
(21)

因此，

(x)_0=x^((0))
(22)
(x)_1=x^((1))
(23)
(x)_2=x^((2))-2x^((1))
(24)
(x)_3=x^((3))-6x^((2))+6x^((1)),
(25)

等等。（并且公式由 Roman 1984, p. 133 给出的是不正确的）。

降阶乘是关联的 Sheffer 序列，具有

f(t)=e^t-1
(26)

(Roman 1984, p. 29)，并具有生成函数

sum_(k=0)^(infty)((x)_k)/(k!)t^k=e^(xln(1+t))
(27)
=(1+t)^x,
(28)

这等价于二项式定理

sum_(k=0)^infty(x; k)t^k=(1+t)^x.
(29)

Sheffer 序列的二项式恒等式是

(x+y)_n=sum_(k=0)^n(n; k)(x)_k(y)_(n-k),
(30)

其中 (n; k) 是一个二项式系数，可以重写为

(x+y; n)=sum_(k=0)^n(x; k)(y; n-k),
(31)

称为 Chu-Vandermonde 恒等式。降阶乘服从以下递推关系

x(x)_n=(x)_(n+1)+n(x)_n
(32)

(Roman 1984, p. 61)。

另请参阅

二项式定理, 中心阶乘, Chu-Vandermonde 恒等式, Pochhammer 符号, 升阶乘, Sheffer 序列, Sigma 多项式

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 101, 1999.Roman, S. "The Lower Factorial Polynomial." §1.2 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 5, 28-29, and 56-63, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A054654 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Pochhammer Polynomials (x)_n." Ch. 18 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 149-165, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中引用

降阶乘

引用为

Weisstein, Eric W. "降阶乘。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/FallingFactorial.html

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