Umbral Calculus

Roman (1984, p. 2) 将 umbral calculus 描述为 Sheffer 序列 类的研究。Umbral calculus 为多项式序列的几乎所有经典组合恒等式的系统推导和分类提供了一种形式体系，以及相关的生成函数、展开式、倍增公式、递推关系、反演、罗德里格斯表示等等，（例如，欧拉-麦克劳林积分公式、布尔求和公式、楚-范德蒙恒等式、牛顿差商插值公式、格雷戈里公式、拉格朗日反演）。

术语 “umbral calculus” 是由西尔维斯特根据单词 “umbra”（拉丁语中意为“影子”）创造的，它反映了这样一个事实：对于许多类型的涉及多项式序列的恒等式，其中包含幂 ，当多项式变为离散值且 中的指数变为降阶乘 时，会获得“影子”恒等式。

例如，以以下形式书写的牛顿前向差分公式

(1)

其中 看起来非常像 泰勒级数 展开的有限模拟

(2)

其中 是微分算子。类似地，楚-范德蒙恒等式

(3)

其中 是二项式系数，看起来非常像二项式定理的模拟

(4)

（Di Bucchianico 和 Loeb）。