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峰度超额

“峰度超额”（Kenney 和 Keeping 1951, p. 27）根据常用的峰度定义为：

gamma_2=beta_2-3
(1)
=(mu_4)/(mu_2^2)-3.
(2)

它通常表示为 gamma_2 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 928) 或 b_2。峰度超额通常被使用，因为正态分布的 gamma_2 等于 0，而峰度本身等于 3。不幸的是，Abramowitz 和 Stegun (1972) 令人困惑地将 beta_2 称为“超额或峰度”。

对于实践中遇到的许多分布，正gamma_2 对应于比正态分布更尖锐的峰和更高的尾部（Kenney 和 Keeping 1951, p. 54）。这种观察可能是峰度超额在历史上（但错误地）被认为是分布“峰态”度量的原因。然而，峰度与峰态之间的对应关系并非普遍成立；事实上，具有完全平坦顶部的分布可能具有无限峰度超额，而具有无限峰态的分布可能具有负峰度超额。因此，峰度超额提供了一种衡量分布中离群值（即“重尾”）的方法，而不是其峰态程度（Kaplansky 1945；Kenney 和 Keeping 1951, p. 27；Westfall 2014）。

下表给出了有时应用于不同 gamma_2 区间的术语。

区间术语
gamma_2<0低峰态
gamma_2=0中峰态
gamma_2>0高峰态

估计量 g_2=<gamma_2> 用于峰度超额 gamma_2，由下式给出：

g_2=(k_4)/(k_2^2),
(3)

其中 ks 是 k 统计量（Kenney 和 Keeping 1961, p. 103）。对于正态分布，此估计量的方差为：

var(g^^_2) approx (24)/N.
(4)

下表列出了许多常见分布的峰度超额。

分布峰度超额 gamma_2
伯努利分布1/(1-p)+1/p-6
贝塔分布(6[a^3+a^2(1-2b)+b^2(1+b)-2ab(2+b)])/(ab(2+a+b)(3+a+b))
二项分布(6p^2-6p+1)/(np(1-p))
卡方分布(12)/r
指数分布6
极值分布(12)/5
伽玛分布6/a
几何分布5-p+1/(1-p)
半正态分布(8(pi-3))/((pi-2)^2)
拉普拉斯分布3
对数正态分布e^(4S^2)+2e^(3S^2)+3e^(2S^2)-6
麦克斯韦分布-(4(96-40pi+3pi^2))/((3pi-8)^2)
负二项分布(6-p(6-p))/(r(1-p))
正态分布0
泊松分布1/nu
瑞利分布(6pi(4-pi)-16)/((pi-4)^2)
学生 t 分布6/(n-4)
连续均匀分布-6/5
离散均匀分布-(6(n^2+1))/(5(n^2-1))

参见

中心矩, 超额, k 统计量, 峰度, 均值, 偏度, 标准差

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, p. 928, 1972.Darlington, R. B. "峰度真的是峰态吗？" 美国统计学家 24, 19-22, 1970.Dodge, Y. 和 Rousson, V. "第四中心矩的复杂性。" 美国统计学家 53, 267-269, 1999.Kaplansky, I. "关于峰度的常见错误。" 美国统计协会杂志 40, 259, 1945.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "峰度。" §7.12 在 统计数学，第一部分，第 3 版。 普林斯顿，新泽西州: Van Nostrand, pp. 102-103, 1962.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. 统计数学，第二部分，第 2 版。 普林斯顿，新泽西州: Van Nostrand, 1951.Moors, J. J. A. "峰度的意义：重新审视 Darlington。" 美国统计学家 40, 283-284, 1986.Ruppert, D. "什么是峰度？影响函数方法。" 美国统计学家 41, 1-5, 1987.Westfall, P. H. "峰度作为峰态，1905-2014。安息吧。" 美国统计学家 68, 191-195, 2014.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "峰度超额。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/KurtosisExcess.html

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