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辛钦调和平均值

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设 [a_0;a_1,a_2,...] 为“通用”实数的简单连分数，其中数字 a_i 是部分商。那么辛钦（或欣钦）调和平均值

K_(-1)=lim_(n->infty)n/(a_1^(-1)+a_2^(-1)+...+a_n^(-1)),
(1)

定义类似于 辛钦常数 K，但部分商取 -1 次幂，存在且具有唯一的公共值（除了一组测度为零的实数），由下式给出

K_(-1)=ln2[sum_(n=1)^(infty)ln(1-1/((n+1)^2))^(-1/n)]^(-1)
(2)
=-ln2[sum_(n=1)^(infty)1/nln(1-1/((n+1)^2))]^(-1)
(3)
=1.745405662407346863494596309...
(4)

（OEIS A087491；Bailey et al. 1997, Plouffe）。

辛钦常数 K=K_0 和辛钦调和平均值 K_(-1) 只是此类常数 K_p 无限家族中的两个，前几个常数总结在下表中。

pOEIS值
0A0022102.685452001065306445309714835481795693820382293994462
-1A0874911.745405662407346863494596309683661067294936618777984
-2A0874921.450340328495630406052983076680697881408299979605904
-3A0874931.313507078687985766717339447072786828158129861484792
-4A0874941.236961809423730052626227244453422567420241131548937
-5A0874951.189003926465513154062363732771403397386092512639671
-6A0874961.156552374421514423152605998743410046840213070718761
-7A0874971.133323363950865794910289694908868363599098282411797
-8A0874981.115964408978716690619156419345349695769491182230400
-9A0874991.102543136670728013836093402522568351022221284149318
-10A0875001.091877041209612678276110979477638256493272651429656

另请参阅

辛钦常数

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 161, 2003.Khinchin, A. Ya. "Average Values." §16 in Continued Fractions. New York: Dover, pp. 86-94, 1997.Plouffe, S. "The Khintchine Harmonic Mean." http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine1.txt.Sloane, N. J. A. Sequence A087491 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上引用

辛钦调和平均值

以此引用

Weisstein, Eric W. “辛钦调和平均值。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/KhinchinHarmonicMean.html

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