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高斯-库兹明-维尔辛常数


Wirsing (1974) 等人证明,在其他结果中,如果 F_n(x)高斯-库兹明分布,则

 lim_(n->infty)(F_n(x)-lg(1+x))/((-lambda)^n)=Psi(x),
(1)

其中 lambda=0.3036630029... (OEIS A038517; Knuth 1998, p. 350) 并且 Psi(x) 是一个解析函数,其中 Psi(0)=Psi(1)=0

lambda 由 Flajolet 和 Vallée (1995) 计算到约 30 位小数,Sebah (未发表) 计算到 100 位小数。Briggs (2003) 将 lambda 计算为 (n+1)×(n+1) 矩阵的第二大(绝对值)特征值的负值,该矩阵由下式定义

 M_(jk)=((-1)^j)/(j!(-2)^k)sum_(i=0)^k(k; i)(-2)^i(i+2)_j[zeta(i+j+2)(2^(i+j+2)-1)-2^(i+j+2)]
(2)

对于 0<=j,k<=n,其中 (k; i) 是一个 二项式系数(x)_n 是一个 波赫哈默尔符号,并且 zeta(z)黎曼 zeta 函数。例如,

 M_2=[1/2(pi^2-8) 7zeta(3)-1/4pi^2-6; 16-14zeta(3) 7zeta(3)-1/2pi^4+40].
(3)

Briggs (2003) 使用了 n=800 和 1300 位的精度,获得了 385 位数字。

这个常数与欧几里得算法的效率有关。它的连分数为 [0, 3, 3, 2, 2, 3, 13, 1, 174, ...] (OEIS A007515; Knuth 1998, p. 350)。


另请参阅

连分数, 欧几里得算法, 高斯-库兹明分布, 辛钦常数, Lévy 常数

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参考文献

Babenko, K. I. "On a Problem of Gauss." Soviet Math. Dokl. 19, 136-140, 1978.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Briggs, K. "A Precise Computation of the Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." Preliminary report. 2003 July 8. http://keithbriggs.info/documents/wirsing.pdf.Daudé, H.; Flajolet, P.; and Vallé, B. "An Average-Case Analysis of the Gaussian Algorithm for Lattice Reduction." Combin. Probab. Comput. 6, 397-433, 1997.Finch, S. R. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." §2.17 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 151-156, 2003.Flajolet, P. and Vallée, B. "On the Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." Unpublished memo. 1995. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/gauss-kuzmin.ps.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 341, 1998.MacLeod, A. J. "High-Accuracy Numerical Values of the Gauss-Kuzmin Continued Fraction Problem." Computers Math. Appl. 26, 37-44, 1993.Mayer, D. H. "Continued Fractions and Related Transformations." In Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces. Papers from the Workshop on Hyperbolic Geometry and Ergodic Theory held in Trieste, April 17-28, 1989 (Ed. T. Bedford, M. Keane, and C. Series). New York: Clarendon Press, pp. 175-222, 1991.Plouffe, S. "The Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/gkw.txt.Sloane, N. J. A. Sequences A007515/M2267 and A038517 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wirsing, E. "On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces." Acta Arith. 24, 507-528, 1974.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

高斯-库兹明-维尔辛常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Gauss-Kuzmin-WirsingConstant.html

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