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克罗内克积

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给定一个 m×n 矩阵 A 和一个 p×q 矩阵 B，它们的克罗内克积 C=A tensor B，也称为它们的矩阵直积，是一个 (mp)×(nq) 矩阵，其元素定义为

c_(alphabeta)=a_(ij)b_(kl),
(1)

其中

alpha=p(i-1)+k
(2)
beta=q(j-1)+l.
(3)

例如，矩阵 2×2 矩阵 A 和矩阵 3×2 矩阵 B 的矩阵直积由以下 6×4 矩阵给出：

A tensor B=[a_(11)B a_(12)B; a_(21)B a_(22)B]
(4)
=[a_(11)b_(11) a_(11)b_(12) a_(12)b_(11) a_(12)b_(12); a_(11)b_(21) a_(11)b_(22) a_(12)b_(21) a_(12)b_(22); a_(11)b_(31) a_(11)b_(32) a_(12)b_(31) a_(12)b_(32); a_(21)b_(11) a_(21)b_(12) a_(22)b_(11) a_(22)b_(12); a_(21)b_(21) a_(21)b_(22) a_(22)b_(21) a_(22)b_(22); a_(21)b_(31) a_(21)b_(32) a_(22)b_(31) a_(22)b_(32)].
(5)

矩阵直积在 Wolfram 语言中实现为KroneckerProduct[a, b].

矩阵直积给出了由原始向量空间的向量空间张量积导出的线性变换的矩阵。更准确地说，假设

S:V_1->W_1
(6)

和

T:V_2->W_2
(7)

由 S(x)=Ax 和 T(y)=By 给出。那么

S tensor T:V_1 tensor V_2->W_1 tensor W_2
(8)

由

S tensor T(x tensor y)=(Ax) tensor (By)=(A tensor B)(x tensor y).
(9)

另请参阅

直积, 图张量积, 矩阵乘法, 张量直积

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参考文献

Schafer, R. D. 非结合代数导论。 New York: Dover, p. 12, 1996.

Wolfram|Alpha 引用

克罗内克积

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "克罗内克积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KroneckerProduct.html

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