加法群

加法群是指运算称为加法并用 表示的群。在加法群中，单位元 称为零，元素 的逆元表示为 (负 )。符号和术语借用自数的加法群：整数环 、有理数域 、实数域 和复数域 都是加法群。

一般来说，每个 环 和每个 域 都是加法群。一类重要的例子是由系数在 环 中的 多项式环 给出的。在 的加法群中，和是通过将相等项的系数相加来执行的，

模、抽象向量空间 和 代数 都是加法群。

向量空间 的向量的和是按分量定义的，

因此， 矩阵的和也是如此，矩阵的项在环 中，

这是矩阵集合 的 -模结构的一部分。

阿贝尔加法群 的任何 商群 也是关于陪集诱导加法的加法群，定义为

对于所有 。

以上所有例子以及 (其中 , 3, ...) 都是这种情况，其中

这是 和 的剩余类的和，有时表示为 和 。这些也是循环加法群的例子； 由元素 生成，这意味着

在任何加法群 中，对于每个整数 ，都可以考虑每个元素 的整数倍数，

这种与整数的乘法使得 成为 -模，当且仅当 是 阿贝尔群 时。

在抽象定义的群中，当运算是 交换的 时，加法符号是首选。对于映射群，通常情况并非如此；在那里，复合通常被视为乘法。一个自然的例外是 维 欧几里得空间 的 平移 群。如果 和 是由 的向量 和 确定的平移，则

这意味着复合等同于平移向量的和。欧几里得空间 的平移群因此可以等同于 的向量的加法群。