素理想

素理想是一个理想 使得如果 ，则 或 至少有一个成立。 例如，在整数中，理想 （即 的倍数）在 是素数时是素理想。

在任何主理想整环中，素理想由素元素生成。素理想将素性的概念推广到更一般的交换环。

一个理想 是素理想当且仅当商环 是一个整环，因为 当且仅当 。 从技术上讲，一些作者选择不允许平凡环 作为交换环，在这种情况下，他们通常要求素理想是真理想。

极大理想总是素理想，但有些素理想不是极大理想。 在整数中， 是一个素理想，就像在任何整环中一样。 请注意，这是整数中所有素理想都由素数生成的说法的例外。 虽然允许这种情况可能看起来很傻，但在某些环中，素理想的结构，即 Zariski 拓扑，更有趣。 例如，在具有复系数的两个变量的多项式 中，理想

都是素理想。

定义的后果之一是不在素理想中的元素集合 在乘法下是封闭的。 这允许人们通过考虑分式环在 处进行局部化。 这个环类似于有理数作为整数分数的构造，除了分母必须在 中。 这个环中唯一的极大理想是 的理想扩张。

从代数几何的角度来看，理想对应于簇。 因为乘法对应于并集（例如 意味着 或 ），素理想对应于不可约簇。