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矩量生成函数

给定一个 随机变量 x 和一个 概率密度函数 P(x)，如果存在一个 h>0 使得

M(t)=<e^(tx)>
(1)

对于 |t|<h，其中 <y> 表示 期望值 y，那么 M(t) 被称为矩量生成函数。

对于连续分布，

M(t)=int_(-infty)^inftye^(tx)P(x)dx
(2)
=int_(-infty)^infty(1+tx+1/(2!)t^2x^2+...)P(x)dx
(3)
=1+tm_1^'+1/(2!)t^2m_2^'+...,
(4)

其中 m_r^' 是第 r 阶 原点矩。

对于独立的 X 和 Y，矩量生成函数满足

M_(x+y)(t)=<e^(t(x+y))>
(5)
=<e^(tx)e^(ty)>
(6)
=<e^(tx)><e^(ty)>
(7)
=M_x(t)M_y(t).
(8)

如果 M(t) 在零点处可微，那么关于 原点 的第 n 阶 矩 由 M^((n))(0) 给出

M(t)=<e^(tx)> M(0)=1
(9)
M^'(t)=<xe^(tx)> M^'(0)=<x>
(10)
M^('')(t)=<x^2e^(tx)> M^('')(0)=<x^2>
(11)
M^((n))(t)=<x^ne^(tx)> M^((n))(0)=<x^n>.
(12)

均值 和 方差 因此为

mu=<x>
(13)
=M^'(0)
(14)
sigma^2=<x^2>-<x>^2
(15)
=M^('')(0)-[M^'(0)]^2.
(16)

同样成立的是

mu_n=sum_(j=0)^n(n; j)(-1)^(n-j)mu_j^'(mu_1^')^(n-j),
(17)

其中 mu_0^'=1 且 mu_j^' 是第 j 阶 原点矩。

有时，使用矩量生成函数的 对数 更简单，这也被称为 累积量生成函数，其定义为

R(t)=ln[M(t)]
(18)
R^'(t)=(M^'(t))/(M(t))
(19)
R^('')(t)=(M(t)M^('')(t)-[M^'(t)]^2)/([M(t)]^2).
(20)

但是 M(0)=<1>=1，所以

mu=M^'(0)=R^'(0)
(21)
sigma^2=M^('')(0)-[M^'(0)]^2=R^('')(0).
(22)

另请参阅

特征函数, 累积量, 累积量生成函数, 矩

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参考文献

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "矩量生成函数和特征函数"、"矩量生成函数的一些例子" 和 "特征函数的唯一性定理"。§4.6-4.8 in 统计数学，第 2 部分，第 2 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 72-77, 1951。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

矩量生成函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "矩量生成函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Moment-GeneratingFunction.html

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