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原点矩

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关于 0 取的概率函数 矩 mu_n ，

mu_n^'=<x^n>
(1)
=intx^nP(x)dx.
(2)

原点矩 mu_n^' （有时也称为“粗略矩”）可以用 中心矩 mu_n 的项表示（即，关于 均值 mu 取的矩），使用逆 二项式变换

mu_n^'=sum_(k=0)^n(n; k)mu_kmu_1^('n-k),
(3)

其中 mu_0=1 且 mu_1=0 (Papoulis 1984, p. 146)。因此，前几个值是

mu_2^'=mu_2+mu_1^('2)
(4)
mu_3^'=mu_3+3mu_2mu_1^'+mu_1^('3)
(5)
mu_4^'=mu_4+4mu_3mu_1^'+6mu_2mu_1^('2)+mu_1^('4)
(6)
mu_5^'=mu_5+5mu_4mu_1^'+10mu_3mu_1^('2)+10mu_2mu_1^('3)+mu_1^('5).
(7)

原点矩 mu_n^' 也可以通过对级数的两边取指数，用 累积量 kappa_n 表示

lnphi=ln(sum_(k=0)^infty((it)^k)/(k!)mu_k^')=sum_(n=0)^inftykappa_n((it)^n)/(n!),
(8)

其中 phi 是 特征函数，得到

sum_(k=0)^infty((it)^k)/(k!)mu_k^'=exp(sum_(n=0)^inftykappa_n((it)^n)/(n!)).
(9)

然后给出前几项

mu_1^'=kappa_1
(10)
mu_2^'=kappa_1^2+kappa_2
(11)
mu_3^'=kappa_1^3+3kappa_1kappa_2+kappa_3
(12)
mu_4^'=kappa_1^4+6kappa_1^2kappa_2+3kappa_2^2+4kappa_1kappa_3+kappa_4
(13)
mu_5^'=kappa_1^5+10kappa_1^3kappa_2+15kappa_1kappa_2^2+10kappa_1^2kappa_3+10kappa_2kappa_3+5kappa_1kappa_4+kappa_5.
(14)

这些变换可以使用RawToCumulant[n] 在 Mathematica 应用程序包中mathStatica.

多元概率函数 P(x_1,x_2,...) 的原点矩可以类似地定义为

mu_(m,n,...)^'=<x_1^mx_2^n...>.
(15)

因此，

mu_(n,0,...,0)^'=mu_n^'.
(16)

多元原点矩可以用多元累积量表示。例如，

mu_(1,1)^'=kappa_(0,1)kappa_(1,0)+kappa_(1,1)
(17)
mu_(2,1)^'=kappa_(0,1)kappa_(1,0)^2+2kappa_(1,0)kappa_(1,1)+kappa_(0,1)kappa_(2,0)+kappa_(2,1).
(18)

这些变换可以使用RawToCumulant[{m, n, ...}] 在 Mathematica 应用程序包中mathStatica.

另请参阅

绝对矩, 中心矩, 均值, 矩, 样本原点矩

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参考文献

Kendall, M. G. "多元抽样公式从单变量公式的推导，通过符号运算。" Ann. Eugenics 10, 392-402, 1940.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "关于原点的矩。" §7.2 in 统计数学，第 1 部分，第 3 版 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 91-92, 1962.Kratky, J.; Reinfelds, J.; Hutcheson, K.; and 47, L. R. "以累积量表示的粗略矩表。" Technical Report, University of Georgia, Athens, 1972.Papoulis, A. 概率、随机变量和随机过程，第 2 版 New York: McGraw-Hill, 1984.Smith, P. J. "从累积量和反之亦然获得矩的旧问题的递归公式。" Amer. Stat. 49, 217-218, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

原点矩

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "原点矩。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RawMoment.html

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