对于两个随机变量 
和 
，相关性定义为
 |
(1)
|
其中 
表示标准差，
是这两个变量的协方差。对于变量 
和 
的一般情况，其中 
, 2, ..., 
,
 |
(2)
|
其中 
是协方差矩阵的元素。一般来说，相关性表示变量之间关系的强度。对于 
,
 |
(3)
|
根据定义，任何量的方差始终是非负的，因此
 |
(4)
|
根据方差的性质，总和可以展开
 |
(5)
|
 |
(6)
|
 |
(7)
|
因此，
 |
(8)
|
类似地，
 |
(9)
|
 |
(10)
|
 |
(11)
|
 |
(12)
|
因此，
 |
(13)
|
所以 
。
对于两个变量的线性组合，
 |  |  |
(14)
|
 |  |  |
(15)
|
 |  |  |
(16)
|
 |  |  |
(17)
|
考察 
的情况，
 |
(18)
|
 |
(19)
|
如果 
，方差将为零，这要求 方差的参数是一个常数。因此，
，所以 
。如果 
，则 
与 
完全正相关 (
) 或完全负相关 (
)。
