空间填充多面体

空间填充多面体是一种可以用来生成空间密铺的多面体。尽管亚里士多德本人在他的著作《论天》中宣称四面体可以填充空间，但事实并非如此。上面展示了一些空间填充多面体。

具有德恩不变量 0 是多面体成为空间填充体的必要但不充分条件。

立方体是唯一具有此属性的柏拉图立体（Gardner 1984，第 183-184 页）。然而，四面体和八面体的组合确实可以填充空间（Steinhaus 1999，第 210 页；Wells 1991，第 232 页）。此外，八面体、截角八面体和立方体以 1:1:3 的比例组合也可以填充空间（Wells 1991，第 235 页）。1914 年，Föppl 发现了一种由四面体和截角四面体组成的空间填充复合体（Wells 1991，第 234 页）。

只有五种具有正多边形面的空间填充凸多面体：三角棱柱、六角棱柱、立方体、截角八面体（Steinhaus 1999，第 185-190 页；Wells 1991，第 233-234 页）和 Gyrobifastigium (Johnson 2000)。菱形十二面体（Steinhaus 1999，第 185-190 页；Wells 1991，第 233-234 页）和伸长十二面体，以及出现在球体堆积中的梯形菱形十二面体也是空间填充体（Steinhaus 1999，第 203-207 页），任何非自相交的四边形棱柱也是如此。立方体、六角棱柱、菱形十二面体、伸长十二面体和截角八面体都是“初级”平行多面体（Coxeter 1973，第 29 页）。

空间等面体是一种凸多面体，它是等面空间填充的，这意味着空间等面体副本的密铺的对称性可以将任何副本带到任何其他副本。近似等面体是一种空间填充多面体，它具有特殊的对称性，可以将空间填充蜂巢中的近似等面体的任何副本带到任何其他副本。

在 1974-1980 年期间，Michael Goldberg 试图详尽地编目空间填充多面体。根据 Goldberg 的说法，有 27 种不同的空间填充六面体，涵盖了除五角锥之外的所有 7 种六面体。在 34 种七面体中，有 16 种是空间填充体，它们至少可以以 56 种不同的方式填充空间。八面体至少可以以 49 种不同的方式填充空间。在 1980 年之前的论文中，有 40 种 11-面体、16 种十二面体、4 种 13-面体、8 种 14-面体、没有 15-面体、一种最初由 Föppl 发现的 16-面体（Grünbaum 和 Shephard 1980；Wells 1991，第 234 页）、两种 17-面体、一种 18-面体、六种二十面体、两种 21-面体、五种 22-面体、两种 23-面体、一种 24-面体以及一种被认为是最大的 26-面体。1980 年，P. Engel（Wells 1991，第 234-235 页）随后发现了总共 172 种具有 17 到 38 个面的更多空间填充体，并且随后发现了更多的空间填充体。P. Schmitt 在 1990 年左右发现了一种非凸非周期多面体空间填充物，而 J. H. Conway 在 1993 年发现了一种称为Schmitt-Conway 双棱柱的凸多面体，它仅以非周期性方式填充空间（Eppstein）。

Schmitt（2016）通过研究四方晶系群，三方晶系群，六方晶系群和立方晶系群可以生成哪些 Dirichlet-Voronoi 空间等面体，给出了空间填充多面体的总结。