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星形多边形

StarPolygons

星形多边形 {p/q}，其中 p,q 是 正整数，是通过用直线连接每隔 q 个点中的第 p 个等间距的点形成的图形，这些点位于 圆周上。数字 q 被称为星形多边形的多边形密度。不失一般性，取 q<p/2。星形多边形最早由托马斯·布拉德沃丁系统地研究。

星形多边形 {p/q} 的外接圆半径，其中 (p,q)=1 且单位边长由下式给出

R=(sin((p-2q)/(2p)pi))/(sin((2q)/ppi)),
(1)

并且它的特征多项式是关于 z 的以下多项式的结式的因子

P=2r^2-2rz-1
(2)
Q=(-1)^(p-1)2r^(2p-2)T_(2p-2)(1/(2r))-2r^(2p-3)z,
(3)

其中 T_m(z) 是第一类切比雪夫多项式 (Gerbracht 2008)。

通常的定义 (Coxeter 1969) 要求 p 和 q 是互质的。然而，当 p 和 q 有公约数时，星形多边形也可以推广到星形图形（或“非正规”星形多边形）。对于这样的图形，如果在第一次遍历后所有点没有连接，即如果 (p,q)!=1，那么从第一个未连接的点开始并重复该过程。重复直到所有点都连接。对于 (p,q)!=1，这个 {p/q} 符号可以分解为

{p/q}=n{(p^')/(q^')},
(4)

其中

p^'=p/n
(5)
q^'=q/n,
(6)

得到 n 个 {p^'/q^'} 图形，每个图形旋转了 2pi/p 弧度，或 360 degrees/p 度。

如果 q=1，则获得一个正多边形 {p}。{p/q} 的特殊情况包括 {5/2}（五角星）、{6/2}（六芒星，或大卫之星）、{8/2}（拉克希米之星）、{8/3}（八角星）、{10/3}（十角星）和 {12/5}（十二角星）。

StarPolygonWrappings

叠加所有不同的星形多边形 {p/q} 对于给定的 p 会产生美丽的图案，如上图所示。这些图形也可以通过将线缠绕在 p 个钉子上获得，这些钉子等距地分布在圆周上 (Steinhaus 1999, pp. 259-260)。

另请参阅

十角星, 六芒星, 九角星, 八角星, 五角星, 正多边形, 拉克希米之星, 星形多面体, 星状化

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Coxeter, H. S. M. "星形多边形。" §2.8 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 36-38, 1969.Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, pp. 93-94, 1973.Fejes Tóth, L. Regular Figures. Oxford, England: Pergamon Press, pp. 102-103, 1964.Frederickson, G. "星形。" Ch. 16 in Dissections: Plane and Fancy. New York: Cambridge University Press, pp. 172-186, 1997.Gerbracht, E. H.-A. "关于连通三次对称图的单位距离嵌入性。" Kolloquium über Kombinatorik. Magdeburg, Germany. Nov. 15, 2008.Savio, D. Y. and Suryanaroyan, E. R. "切比雪夫多项式和正多边形。" Amer. Math. Monthly 100, 657-661, 1993.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 211 and 259-260, 1999.Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, p. 32, 1979.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

星形多边形

请这样引用

Weisstein, Eric W. "星形多边形。" 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/StarPolygon.html

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