正规数

如果一个数在基数 的展开式中，每个数字出现的平均频率趋向于 ，则称该数对于基数 是简单正规的。

正规数是无理数，对于给定的基数（或所有基数），其展开式中任何有限的数字模式都以预期的极限频率出现。例如，对于一个正规十进制数，预计每个数字 0-9 出现 1/10 的时间，每对数字 00-99 预计出现 1/100 的时间，等等。在基数- 中为正规数的数，通常被称为 -正规数。

对于每个 , 3, ... 都为 -正规数的数被称为绝对正规数 (Bailey and Crandall 2003)。

正如 Kac (1959) 所说，“通常情况下，证明绝大多数对象具有某种属性比展示哪怕一个这样的对象要容易得多……展示一个‘正规’数是非常困难的！” (Stoneham 1970)。

如果实数 是 -正规数，那么对于整数 和 ，它也是 -正规数 (Kuipers and Niederreiter 1974, p. 72; Bailey and Crandall 2001)。此外，如果 和 是有理数，且 且 是 -正规数，那么 也是正规数。而如果 是整数，那么 也是 -正规数 (Kuipers and Niederreiter 1974, p. 77; Bailey and Crandall 2001)。

确定数字是否为正规数是一个未解决的问题。甚至不知道诸如 π (Wagon 1985, Bailey and Crandall 2003)、自然对数 2 (Bailey and Crandall 2003)、阿佩里常数 (Bailey and Crandall 2003)、毕达哥拉斯常数 (Bailey and Crandall 2003) 和 e 等基本数学常数是否为正规数，尽管 的前 3000 万位数字分布非常均匀 (Bailey 1988)。

虽然对 对于 （毕达哥拉斯常数数字）、3 （狄奥多罗斯常数数字）、5、6、7、8、10、11、12、13、14、15 的测试表明这些平方根可能是正规数 (Beyer et al. 1970ab)，但这些数的正规性（可能直到最近）也尚未得到证明。Isaac (2005) 最近发表了一篇预印本，声称证明了对于非完全平方数 的形式的每个数 在基数 2 中都是简单正规的。不幸的是，这项工作使用了一种非标准方法，至少对于一些看过它的专家来说，这种方法显得相当含糊不清。

虽然 Borel (1909) 证明了关于勒贝格测度几乎所有数的正规性，但除了一些特殊类别的常数（例如，Stoneham 1973, Korobov 1990, Bailey and Crandall 2003）外，已知为正规数（在某些基数中）的数是人为构造的，例如 Champernowne 常数 和 Copeland-Erdős 常数。 特别是，二进制 Champernowne 常数

(1)

(OEIS A030190) 是 2-正规数 (Bailey and Crandall 2001)。

Bailey 和 Crandall (2001) 表明，在与伪随机数生成器相关的未经证实但合理的假设下，常数 , 和 将是 2-正规数，其中 是 阿佩里常数。Stoneham (1973) 证明了所谓的 Stoneham 数

(2)

其中 和 是互质的正整数，当 是奇素数 且 是 的本原根时， 是 -正规数。Bailey 和 Crandall (2003) 扩展了这个结果，他们证明了对于所有正整数 ，只要 和 互质， 都是正规数。

Korobov (1990) 表明常数

(3)

对于正整数 和互质的 和 ， 是 -正规数，Bailey 和 Crandall (2003) 使用完全不同的技术重新证明了这一结果。令人惊讶的是，Korobov (1990) 还给出了一个显式算法来计算 的连分数项。

Bailey 和 Crandall (2003) 还确定了形式为 的常数的 -正规性，其中 和 是某些整数序列。