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二项式数

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二项式数是 形如 a^n+/-b^n 的数，其中 a,b 和 n 是 整数。二项式数可以代数分解为

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1))
(1)

对于所有 n，

a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+...-ab^(n-2)+b^(n-1))
(2)

对于奇数 n，以及

a^(nm)-b^(nm)=(a^m-b^m)[a^(m(n-1))+a^(m(n-2))b^m+...+b^(m(n-1))].
(3)

对于所有正整数 m,n。

a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(4)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
(5)
a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)
(6)
a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
(7)
a^6-b^6=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)
(8)
a^7-b^7=(a-b)(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)
(9)
a^8-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)
(10)
a^9-b^9=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^6+a^3b^3+b^6)
(11)
a^(10)-b^(10)=(a-b)(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)×(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
(12)

例如，

a^2+b^2=a^2+b^2
(13)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(14)
a^4+b^4=a^4+b^4
(15)
a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)
(16)
a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)
(17)
a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)
(18)
a^8+b^8=a^8+b^8
(19)
a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)
(20)
a^(10)+b^(10)=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8).
(21)

并且

令人惊讶的是，a^n-b^n 的因子数（其中 a 和 b 是符号，n 是正整数）由 d(n) 给出，其中 d(n)=sigma_0(n) 是 n 的除数个数，sigma_k(n) 是除数函数。因此，前几项是 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, ... (OEIS A000005)。

类似地，a^n+b^n 的因子数由 d^((o))(n) 给出，其中 d^((o))(n)=sigma_0^((o))(n) 是 n 的奇数除数个数，sigma_k^((o))(n) 是 奇数除数函数。因此，前几项是 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1,... (OEIS A001227)。

a^(2^n)+b^(2^n)
(22)

1770 年，欧拉证明如果 (a,b)=1，则

的每个奇数 因子 是 形如 2^(n+1)K+1。（形如 2^(2^n)+1 的数称为 费马数。）

((a^(pq)-1)(a-1))/((a^p-1)(a^q-1))-1
(23)

如果 p 和 q 是 素数，则

可以被 a^(p-1) 的每个不整除 a^q-1 的 素数 因子 整除。

参见

二项式, 康宁汉数, 费马数, 梅森数, 完全立方多项式, 里塞尔数, 第二类谢尔宾斯基数, 华林公式

多项式系数计算器

参考文献

Guy, R. K. "何时 2^a-2^b 整除 n^a-n^b。" §B47 在 数论中未解决的问题，第 2 版。 纽约：Springer-Verlag，第 102 页，1994 年。Qi, S 和 Ming-Zhi, Z. "对于所有 n，2^a-2^b 整除 n^a-n^b 的对。" Proc. Amer. Math. Soc. 93, 218-220, 1985.Schinzel, A. "关于 a^n-b^n 的本原素因子。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 58, 555-562, 1962.Sloane, N. J. A. 序列 A000005/M0246 和 A001227，收录于 "整数序列在线百科全书"。

二项式数

引用为

Weisstein, Eric W. "二项式数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BinomialNumber.html

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