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康宁汉姆数

康宁汉姆数是二项数，形式为 C^+/-(b,n)=b^n+/-1，其中 b>1 且 n 为正整数。基数 b^k 本身是幂的情况无需考虑，因为它们对应于 (b^k)^n+/-1=b^(kn)+/-1。素数，形式为 C^+/-(b,n) 的非常罕见。

对于 C^+(2,n)=2^n+1 为素数，必要（但非充分）条件是 n 形式为 n=2^m。 形式为 F_m=C^+(2,2^m)=2^(2^m)+1 的数称为费马数，并且仅已知的素数出现在 C^+(2,1)=3、 C^+(2,2)=5、 C^+(2,4)=17、 C^+(2,8)=257 和 C^+(2,16)=65537 时（即 m=0、1、2、3、4）。对于非平凡的 b<=11 和 2<=n<=1000，唯一其他的 素数 C^+(b,n) 是 C^+(6,2)=37、 C^+(6,4)=1297 和 C^+(10,2)=101。

当 n 为奇数时，C^+(2,n)=2^n+1 总是可以被 3 整除。

形式为 C^-(b,n) 的素数也非常罕见。梅森数 M_n=C^-(2,n)=2^n-1 已知仅对 44 个值是素数，其中前几个是 n=2、3、5、7、13、17、19、... (OEIS A000043)。这些数被称为梅森素数。对于非平凡的 b<=20 和 2<=n<=1000，没有其他素数 C^-(b,n)。

1925 年，Cunningham 和 Woodall (1925) 收集了关于 素性 和数字 C^+/-(b,n) 的因式分解的所有已知信息，并出版了一本小册子的表格。这些表格从分散的来源收集了基数 2 和 10 的已知素因子，并展示了作者 30 年来对这些基数和其他基数的研究成果。

自 1925 年以来，许多人致力于填写这些表格。D. H. Lehmer 是一位著名的数学家，于 1991 年去世，多年来一直是这些工作的领导者。Lehmer 是一位数学家，在现代电子计算机成为现实时，他站在计算的最前沿。他还因发明了一些巧妙的电子前计算设备而闻名，这些设备专门为分解数字而设计。

更新的因式分解发表在 Brillhart et al. (1988) 中。Brent 和 te Riele (1992) 将表格扩展到 b=13、...、100，对于 b<30，m<255，对于 b>=30，m<100。所有指数为 58 和更小的数字，以及所有位数 <=90 的合数现在都已被分解。

参见

二项数, 库伦数, 费马数, 梅森数, 普罗斯数, 单位重复数, 里塞尔数, 第一类谢尔宾斯基数, 伍德尔数

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参考文献

Brent, R. P. and te Riele, H. J. J. "Factorizations of a^n+/-1, 13<=a<100." Report NM-R9212, Centrum voor Wiskunde en Informatica. Amsterdam, June 1992. http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/richard.brent/pub/pub200.html.Brillhart, J.; Lehmer, D. H.; Selfridge, J.; Tuckerman, B.; and Wagstaff, S. S. Jr. Factorizations of b-n+/-1, b=2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 Up to High Powers, 3rd ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988. http://www.ams.org/online_bks/conm22/.Cunningham, A. J. C. and Woodall, H. J. Factorisation of y-n∓1, y=2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 Up to High Powers (n). London: Hodgson, 1925.Mudge, M. "Not Numerology but Numeralogy!" Personal Computer World, 279-280, 1997.Ribenboim, P. "Numbers k×2^n+/-1." §5.7 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 355-360, 1996.Sloane, N. J. A. Sequence A000043/M0672 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wagstaff, S. S. Jr. "The Cunningham Project." http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/.Wagstaff, S. S. Jr. "The Third Edition of the Cunningham Books." http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

康宁汉姆数

请引用为

Weisstein, Eric W. "康宁汉姆数。" 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CunninghamNumber.html

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