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第二类谢尔宾斯基数

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第二类谢尔宾斯基数是满足 谢尔宾斯基合数定理 的数 k，即，一个 普罗斯数 k 使得对于每个 n>=1，k·2^n+1 是 合数。

已知的最小例子是 k=78,557，由 J. Selfridge 在 1962 年证明，但在确定此数字为最小的此类数字之前，仍有许多较小的候选数有待确定。截至 1996 年，仍有 35 个候选数（Ribenboim 1996, p. 358），到 2002 年初，这个数字已减少到 17 个（Peterson 2003）。

2002 年 3 月，L. K. Helm 和 D. A. Norris 发起了一项名为“十七或破灭”的分布式计算工作，以消除剩余的候选数。在全球合作者的帮助下，截至 2003 年 12 月，这个数字已减少到 12 个（Peterson 2003，Helm 和 Norris）。下表总结了随后被“十七或破灭”项目发现为素数的数字，截至 2016 年 11 月，仅剩下五个候选数。

日期参与者数字
12 月 6 日，2003 年5359·2^(5054502)+1
6 月 8 日，2005 年D. Gordon27653·2^(9167433)+1
10 月 15 日，2005 年R. Hassler4847·2^(3321063)+1
5 月 5 日，2007 年K. Agafonov19249·2^(13018586)+1
10 月 30 日，2007 年S. Sunde33661·2^(7031232)+1
11 月 6 日，2016 年P. Szabolcs10223·2^(31172165)+1

下表列出了已知的素数以及截至 2008 年 1 月仍然存在的唯一候选数，即六个数字 10223、21181、22699、24737、55459 和 67607。Caldwell 也维护着该项目发现的素数列表 (http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=429)。

k素数位数Caldwell
48474847·2^(3321063)+1999744http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75994
53595359·2^(5054502)+11521561http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=67719
1022310223·2^(31172165)+19383761http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122473
1924919249·2^(13018586)+13918990http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80385
21181
22699
24737
2765327653·2^(9167433)+12759677http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=74836
2843328433·2^(7830457)+12357207http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73145
3366133661·2^(7031232)+12116617http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=82804
4413144131·2^(995972)+1299823http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62867
4615746157·2^(698207)+1210186http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62865
5476754767·2^(1337287)+1402569http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62869
55459
6556765567·2^(1013803)+1305190http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62866
67607
6910969109·2^(1157446)+1348431http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62868

现在考虑将第二类谢尔宾斯基数限制为素数 k。最小的已证明的素数谢尔宾斯基数是 271129。一个分布式计算项目正在进行中，以寻找 k·2^m+1 是素数的例子，其中 k 小于已证明的下限 (Caldwell)。请注意，最小的候选数包括来自“十七或破灭”列表的三个素数候选数：10223、22699、67607。Caldwell 也维护着该项目发现的素数列表 (http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=564)。

设 a(k) 为使 (2k-1)·2^n+1 为 素数 的最小 n，则前几个值是 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 583, ... (OEIS A046067)。第二小的 n 由 1, 2, 3, 4, 2, 3, 8, 2, 15, 10, 4, 9, 4, 4, 3, 60, 6, 3, 4, 2, 11, 6, 9, 1483, ... 给出 (OEIS A046068)。即使对于小的 k，也可能需要相当大的 n 才能获得第一个素数。例如，形式为 383·2^n+1 的最小素数是 383·2^(6393)+1。

存在无限多个为 素数 的谢尔宾斯基数。

最小的奇数 k 使得对于所有 n<k，k+2^n 是 合数 的是 773, 2131, 2491, 4471, 5101, ... (OEIS A033919)。

对于 n>=1 和 高斯整数 k=10+3i、25+3i 和 40+3i，k·2^n+1 始终是合数。(E. Pegg Jr.，私人通讯，2003 年 2 月 6 日；Broadhurst 2005)。

另请参阅

柯尔伯特数, 梅森数, 皮尔庞特素数, 素数, 普罗斯数, 里塞尔数, 谢尔宾斯基合数定理, 泰坦素数

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参考文献

Baillie, R.; Cormack, G.; 和 Williams, H. C. "关于谢尔宾斯基关于 k·2n+1 的问题。" Math. Comput. 37, 229-231, 1981.Ballinger, R. "谢尔宾斯基问题：定义和状态。" http://www.prothsearch.net/sierp.html.Broadhurst, D. "Jean 是否可能复杂化 SoB？" primeform 群组帖子。10 月 30 日，2005 年。 http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/6620/.Caldwell, C. "素数谢尔宾斯基问题。" http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=564.Caldwell, C. "十七或破灭。" http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=429.Buell, D. A. 和 Young, J. "一些大素数和谢尔宾斯基问题。" SRC 技术报告 88004，超级计算研究中心，兰纳姆，马里兰州，1988 年。Helm, L. 关于发现 27653×2^(9167433)+1 的新闻稿。2005 年 6 月 15 日。 http://www.seventeenorbust.com/documents/press-061505.mhtml.Helm, L. 关于发现 19249·2^(13018586)+1 的新闻稿。2007 年 5 月 5 日。 http://www.seventeenorbust.com/documents/press-050507.mhtml.Helm, L. 和 Norris, D. "十七或破灭：对谢尔宾斯基问题的分布式攻击。" http://www.seventeenorbust.com/.Helm, L. 和 Norris, D. "十七或破灭：对谢尔宾斯基问题的分布式攻击 -- 项目统计。" http://www.seventeenorbust.com/stats/.Jaeschke, G. "关于使得 k·2^N+1 为合数的最小 k。" Math. Comput. 40, 381-384, 1983.Jaeschke, G. "关于使得 k·2^N+1 为合数的最小 k" 的勘误表。 Math. Comput. 45, 637, 1985.Keller, W. "费马数的因子和 k·2^n+1 形式的大素数。" Math. Comput. 41, 661-673, 1983.Keller, W. "费马数的因子和 k·2^n+1 形式的大素数，II。" 准备中。Peterson, I. "MathTrek：素数的显著缺乏。" 2003 年 1 月 13 日。 http://www.sciencenews.org/20030111/mathtrek.asp."素数谢尔宾斯基项目。" http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=2665.Ribenboim, P. 新素数记录书。 纽约：施普林格出版社，pp. 357-359, 1996.Sierpiński, W. "关于 k·2^n+1 数的问题。" Elem. d. Math. 15, 73-74, 1960.Sloane, N. J. A. 序列 A033919, A046067, 和 A046068 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中引用

第二类谢尔宾斯基数

请引用为

Weisstein, Eric W. "第二类谢尔宾斯基数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html

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