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双纽线常数

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令

s=1/(sqrt(2pi))[Gamma(1/4)]^2=5.2441151086...
(1)

(OEIS A064853) 为 双纽线 的 弧长，其中 a=1。那么双纽线常数是以下量

L=1/2s
(2)
=int_0^pi(dtheta)/(sqrt(1+sin^2theta))
(3)
=2int_0^1(dx)/(sqrt(1-x^4))
(4)
=piG
(5)
=pi/(M(1,sqrt(2)))
(6)
=2K(i)
(7)
=sqrt(2)K(1/(sqrt(2)))
(8)
=([Gamma(1/4)]^2)/(2sqrt(2pi))
(9)
=pitheta_4^2(e^(-pi))
(10)
=(3pi)/(2R_D(0,2,1))
(11)
=2R_F(0,1,2)
(12)
=piR_K(1,2)
(13)
=2.62205755429...
(14)

(OEIS A062539; Abramowitz and Stegun 1972; Finch 2003, p. 420)，其中 G 是 高斯常数，M(a,b) 是 算术-几何平均数，theta_4(q) 是 theta_4 是 雅可比 Theta 函数，K(k) 是 第一类完全椭圆积分，并且 R_D、R_F 和 R_K 是 卡尔森椭圆积分。Todd (1975) 引用 T. Schneider 的证明，L 在 1937 年是 超越数。

该量

L_1=1/2L
(15)
=int_0^1(dx)/(sqrt(1-x^4))
(16)
=1.311028777...
(17)

(OEIS A085565; Le Lionnais 1983) 有时被称为第一双纽线常数，而

L_2=int_0^1(x^2)/(sqrt(1-x^4))dx
(18)
=pi/(2L)
(19)
=1/(2G)
(20)
=0.5990701173...
(21)

(OEIS A076390)，其中 G 是 高斯常数，有时被称为第二双纽线常数 (Todd 1975, Gosper 1976, Lewanowicz and Paszowski 1995)。

另请参阅

伽玛函数, 双纽线, 双纽线情形, 伪双纽线情形

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi 与 AGM：解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, 1987.Finch, S. R. "高斯双纽线常数。" §6.1 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 420-423, 2003.Gosper, R. W. "级数重排的演算。" In 算法与复杂性：新方向和最新成果。1976 年卡内基梅隆大学会议论文集 (Ed. J. F. Traub). New York: Academic Press, pp. 121-151, 1976.Le Lionnais, F. 卓越数。 Paris: Hermann, p. 37, 1983.Levin, A. "双纽线常数无限乘积的几何解释。" Amer. Math. Monthly 113, 510-520, 2006.Lewanowicz, S. 和 Paszowski, S. "加速某些超几何级数收敛的解析方法。" Math. Comput. 64, 691-713, 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A062539, A064853, A076390, 和 A085565 in "整数序列在线百科全书。"Todd, J. "双纽线常数。" Comm. ACM 18, 14-19 和 462, 1975.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

双纽线常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "双纽线常数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LemniscateConstant.html

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