Machin类公式具有以下形式
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(1)
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其中 
、 
和 
是正整数，
和 
是非负整数。一些这样的公式可以通过转换 Todd (1949) 表格中 
的反切线分解为反余切来找到。然而，这仅给出最小项为 
的 Machin 类公式。
广义 Machin 类公式，其中余切函数的自变量是有理数，包括欧拉的
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(2)
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(Lehmer 1938, Wetherfield 1996)，平方根例如
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(3)
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甚至混合二次无理数 (Lehmer 1938) 也被考虑过。
一个平凡的单项 Machin 类公式由以下恒等式给出
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(4)
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双项 Machin 类公式可以通过写作推导出来
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(5)
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并寻找 
和 
使得
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(6)
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因此
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(7)
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Machin 类公式存在 当且仅当 (7) 在整数中有一个解。这等价于找到正整数值 
、 
和 
以及整数值 
和 
使得
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(8)
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这发生 当且仅当
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(9)
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是实数 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 345)。另一个等价的表述是找到以下方程之一的所有整数解
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(10)
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(11)
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对于 
, 5, ....
只有四个这样的双项公式，
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(12)
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(13)
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(14)
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(15)
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被称为马青公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 105)、欧拉类马青公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 105)、赫尔曼公式和赫顿公式。这些公式源自以下恒等式
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(16)
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(17)
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(18)
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(19)
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三项 Machin 类公式包括高斯类马青公式
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(20)
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(21)
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Dase 曾使用过此公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 106)，以及以下公式
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(22)
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(23)
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(24)
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(25)
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(26)
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第一个公式归功于 Størmer，第二个公式归功于 Rutherford，最后一个公式出现在 Borwein 和 Bailey (2003, p. 107) 中。然而，还有许多其他这样的公式，Weisstein 共列出了 105 个。
Weisstein 共列出了 90 个五项 Machin 类公式，包括 Borwein 和 Bailey (2003, pp. 62 和 111) 给出的两个公式
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(27)
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(28)
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其中第一个公式由高中教师 K. Takano 于 1982 年发现，第二个公式 Störmer 早在 1896 年就已知道。
使用三角恒等式，例如
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(29)
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可以生成无限个 Machin 类公式序列。因此，系统搜索通常集中在具有特别“好”的属性（例如“效率”）的公式上。
广义 Machin 类公式（可能具有有理数、二次无理数或其他反余切自变量）的效率是使用反余切的幂级数计算 
所需的时间，幂级数由下式给出
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(30)
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并且可以使用 Lehmer 的“测度”公式粗略地表征
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(31)
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(Lehmer 1938)。达到给定精度所需的项数大致与 
成正比，因此较低的 
值对应于更好的和。目前已知的最佳效率为 1.51244，这是由 6 项级数实现的
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(32)
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由 C.-L. Hwang (1997) 发现。Hwang (1997) 还发现了以下非凡的恒等式
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(33)
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其中 
、 
、 
、 
和 
是正整数，并且
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(34)
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下表给出了 Weisstein 汇编中 
项 Machin 类公式的数量 
。除了先前已知的恒等式（已包括在内），纳入标准如下
1. 首项 
位数字：测度 
。
2. 首项 = 8 位数字：测度 
。
3. 首项 = 9 位数字：测度 
。
4. 首项 = 10 位数字：测度 
。
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| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 4 | 1.85113 |
| 3 | 106 | 1.78661 |
| 4 | 39 | 1.58604 |
| 5 | 90 | 1.63485 |
| 6 | 120 | 1.51244 |
| 7 | 113 | 1.54408 |
| 8 | 18 | 1.65089 |
| 9 | 4 | 1.72801 |
| 10 | 78 | 1.63086 |
| 11 | 34 | 1.6305 |
| 12 | 188 | 1.67458 |
| 13 | 37 | 1.71934 |
| 14 | 5 | 1.75161 |
| 15 | 24 | 1.77957 |
| 16 | 51 | 1.81522 |
| 17 | 5 | 1.90938 |
| 18 | 570 | 1.87698 |
| 19 | 1 | 1.94899 |
| 20 | 11 | 1.95716 |
| 21 | 1 | 1.98938 |
| 总计 | 1500 | 1.51244 |
." 
." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938.Lewin, L. 
, 
, ..., 
, 
, ..., 
de l'Equation...." Archiv for Mathematik og Naturvidenskab B 19, 75-85, 1896.Todd, J. "A Problem on Arc Tangent Relations." Amer. Math. Monthly 56, 517-528, 1949.Wetherfield, M. "The Enhancement of Machin's Formula by Todd's Process." Math. Gaz. 80, 333-344, 1996.Wetherfield, M. "Machin Revisited." Math. Gaz. 81, 121-123, 1997.