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莱默余切展开

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莱默 (1938) 证明了每个 正 无理数 x 都有唯一的无限连余切表示，形式为

x=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)b_k],
(1)

其中 b_k 是 非负 的，且

b_k>=b_(k-1)^2+b_(k-1)+1.
(2)

请注意，系数的这种增长条件对于莱默展开的唯一性至关重要。

下表总结了各种特殊常数的系数 b_k。

xOEIS{b_k}
eA0026682, 8, 75, 8949, 119646723, 15849841722437093, ...
欧拉-马歇罗尼常数 gammaA0817820, 1, 3, 16, 389, 479403, 590817544217, ...
黄金比例 phiA0062671, 4, 76, 439204, 84722519070079276, ...
莱默常数 xiA0020650, 1, 3, 13, 183, 33673, ...
piA0026673, 73, 8599, 400091364,371853741549033970, ...
毕达哥拉斯常数 sqrt(2)A0026661, 5, 36, 3406, 14694817,727050997716715, ...

黄金比例 phi 的展开式具有优美的闭合形式

phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(L_(3^k))],
(3)

其中 L_n 是 卢卡斯数。

以下是 phi 的另一种余切展开的示例，它不是莱默展开，因为其系数增长太慢

phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(F_(2k+2))],
(4)

其中 F_n 是 斐波那契数（B. Cloitre，私人通信，2005 年 9 月 22 日）。

另请参阅

余切, 反余切, 莱默常数

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参考文献

Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938.Rivoal, T. "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer." http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/articles/cotan.pdf.Shallit, J. "Predictable Regular Continued Cotangent Expansions." J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B 80B, 285-290, 1976.Sloane, N. J. A. Sequences A002065/M2961, A002666/M3983, A002668/M1900, A002667/M3171, A006267/M3699, and A081782 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

莱默余切展开

请这样引用

Weisstein, Eric W. "莱默余切展开。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LehmerCotangentExpansion.html

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