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亥姆霍兹微分方程——圆柱坐标系

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在圆柱坐标系中，尺度因子为 h_r=1、 h_theta=r、 h_z=1，因此拉普拉斯算符由下式给出

del ^2F=1/rpartial/(partialr)(r(partialF)/(partialr))+1/(r^2)(partial^2F)/(partialtheta^2)+(partial^2F)/(partialz^2).
(1)

尝试在亥姆霍兹微分方程中进行分离变量法

del ^2F+k^2F=0
(2)

通过写作

F(r,theta,z)=R(r)Theta(theta)Z(z),
(3)

然后结合 (1) 和 (2) 得到

(d^2R)/(dr^2)ThetaZ+1/r(dR)/(dr)ThetaZ+1/(r^2)(d^2Theta)/(dtheta^2)RZ+(d^2Z)/(dz^2)RTheta+k^2RThetaZ=0.
(4)

现在乘以 r^2/(RThetaZ)，

((r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+r/R(dR)/(dr))+1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)+(r^2)/Z(d^2Z)/(dz^2)+k^2r^2=0,
(5)

因此方程已被分离。由于根据圆柱坐标系的定义，解必须在 theta 中是周期性的，因此 (5) 的第二部分的解必须具有负分离常数

1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)=-m^2,
(6)

其解为

Theta(theta)=C_mcos(mtheta)+D_msin(mtheta).
(7)

将 (7) 代回 (5) 得到

(r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+r/R(dR)/(dr)-m^2+(r^2)/Z(d^2Z)/(dz^2)+k^2r^2=0,
(8)

并将两边除以 r^2 得到

1/R(d^2R)/(dr^2)+1/(rR)(dR)/(dr)-(m^2)/(r^2)+1/Z(d^2Z)/(dz^2)+k^2=0.
(9)

(9) 的第二部分的解在 +/-infty 处不能是正弦的，对于物理解而言，因此该微分方程具有正分离常数

1/Z(d^2Z)/(dz^2)=n^2,
(10)

解为

Z(z)=E_ne^(-nz)+F_ne^(nz).
(11)

将 (11) 代回 (9) 并乘以 R 得到

(d^2R)/(dr^2)+1/r(dR)/(dr)+(n^2+k^2-(m^2)/(r^2))R=0
(12)

但这只是贝塞尔微分方程的一种修改形式，其解为

R(r)=A_(mn)J_m(rsqrt(n^2+k^2))+B_(mn)Y_m(rsqrt(n^2+k^2)),
(13)

其中 J_n(x) 和 Y_n(x) 分别是第一类和第二类贝塞尔函数。因此，通解为

F(r,theta,z)=sum_(m=0)^inftysum_(n=0)^infty[A_(mn)J_m(rsqrt(k^2+n^2))+B_(mn)Y_m(rsqrt(k^2+n^2))] ×[C_mcos(mtheta)+D_msin(mtheta)](E_ne^(-nz)+F_ne^(nz)).
(14)

在 Morse 和 Feshbach (1953) 的符号中，分离函数为 f_1(r)=r、 f_2(theta)=1、 f_3(z)=1，因此斯塔克尔行列式为 1。

亥姆霍兹微分方程在更一般的 k^2 形式下也是可分离的

k^2(r,theta,z)=f(r)+(g(theta))/(r^2)+h(z)+k^('2).
(15)

参见

圆柱坐标系, 亥姆霍兹微分方程, 亥姆霍兹微分方程——极坐标系

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参考文献

Moon, P. 和 Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 15-17, 1988.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 514 和 656-657, 1953.

请引用为

Weisstein, Eric W. "亥姆霍兹微分方程——圆柱坐标系。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HelmholtzDifferentialEquationCircularCylindricalCoordinates.html

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