第二类克里斯托费尔符号

第二类克里斯托费尔符号是从 黎曼度量 导出的第二种 张量 状对象，用于研究度量的几何性质。第二类克里斯托费尔符号有多种表示方法，如 (Walton 1967) 或 (Misner et al. 1973, Arfken 1985)。它们也被称为仿射联络（Weinberg 1972，第 71 页）或联络系数（Misner et al. 1973，第 210 页）。

遗憾的是，第二类克里斯托费尔符号有两种不同的定义。

Arfken（1985，第 161 页）定义了

其中 是一个 偏导数， 是 度量张量，

其中 是 径向矢量，以及

因此，对于正交曲线坐标系，根据此定义，

定义 (6) 的对称性意味着

(Walton 1967)。

这种第二类克里斯托费尔符号与 第一类克里斯托费尔符号 的关系为

Walton（1967）列出了 12 种基本正交坐标系的第二类克里斯托费尔符号。

第二类克里斯托费尔符号的另一个不同定义由下式给出

（Misner et al. 1973，第 209 页），其中 表示 梯度。请注意，这种克里斯托费尔符号在 和 中是不对称的。

第二类克里斯托费尔符号不是 张量，但具有 张量 状的 逆变 和 协变 索引。第二类克里斯托费尔符号也不像张量那样变换。实际上，将坐标从 更改为 得到

然而，完全 协变 的第二类克里斯托费尔符号由下式给出

（Misner et al. 1973，第 210 页），其中 是 度量张量， 是 交换系数，逗号表示 逗号导数。在 标准正交基 中， 且 ，因此

以及

对于 张量秩 为 3 的 张量，第二类克里斯托费尔符号可以简洁地以 矩阵 形式概括

克里斯托费尔符号由 第一基本形式 、 和 的系数给出

以及 和 。如果 ，则第二类克里斯托费尔符号简化为

（Gray 1997）。

以下关系在第二类克里斯托费尔符号和第一 基本形式 的系数之间成立：

（Gray 1997）。

对于以 蒙日形式 给出的曲面，

第二类克里斯托费尔符号出现在 测地线 的计算中。自由运动的 测地线方程 为

或

展开，

但是

所以

其中