主题
Search

狄奥克勒斯双纽线

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
CissoidofDiocles

一种三次曲线，由狄奥克勒斯于公元前 180 年左右发明，与其通过几何方法倍立方体的尝试有关。“双纽线”这个名称首次出现在约 100 年后格米努斯的作品中。费马和罗伯瓦尔于 1634 年构造了切线。从给定点出发，可以有一条或三条切线到双纽线。

给定原点 O 和曲线上一点 P，设 S 为直线 OP 的延长线与直线 x=2a 的交点，R 为半径为 a、圆心为 (a,0) 的圆与 OP 延长线的交点。那么，狄奥克勒斯双纽线是满足 OP=RS 的曲线。

狄奥克勒斯双纽线是一条抛物线顶点在另一条相等的抛物线上滚动时，该抛物线顶点的滚迹线。牛顿给出了一种绘制狄奥克勒斯双纽线的方法，使用两条等长且互相垂直的线段。如果移动它们，使一条线始终穿过一个固定点，而另一条线段的末端沿直线滑动，则滑动线段的中点会描绘出狄奥克勒斯双纽线。

狄奥克勒斯双纽线由参数方程给出

x=2asin^2t
(1)
y=(2asin^3t)/(cost)
(2)

对于 -pi/2<t<pi/2 (Lawrence 1972, p. 99)。将这些转换为极坐标得到

r=2asinthetatantheta.
(3)

作为隐式方程，

(x^3)/(2a-x)=y^2
(4)

这等价于

x(x^2+y^2)=2ay^2.
(5)

另一种等价于上述参数化的形式由下式给出

x=(2at^2)/(1+t^2)
(6)
y=(2at^3)/(1+t^2)
(7)

(Yates 1952, p. 27)。

狄奥克勒斯双纽线在原点有一个尖点，垂直渐近线为 x=2a。

正如惠更斯和沃利斯在 1658 年发现的那样，曲线与其垂直渐近线之间的面积为

A=2int_0^(2a)sqrt((x^3)/(2a-x))dx
(8)
=3pia^2
(9)

(MacTutor 档案馆)。

在此参数化中，弧长、曲率和切线角由下式给出

s(t)=a[-4+sqrt(3)ln2+2sqrt(3)ln(2+sqrt(3))-2sqrt(3)ln[sqrt(6)cost+sqrt(5+3cos(2t))]+sqrt(10+6cos(2t))sect]
(10)
kappa(t)=(3tan^2t)/(a(sec^4t+2sec^2t-3)^(3/2))
(11)
phi(t)=2tan^(-1)t-tan^(-1)(1/2t)
(12)

对于 a>0 和 -pi/2<t<pi/2。

另一种参数形式是

x(t)=(2at^2)/(1+t^2)
(13)
y(t)=(2at^3)/(1+t^2)
(14)

(Gray 1997) 对于 t in (-infty,infty)。在此参数化中，弧长、曲率和切线角为

s(t)=2a[sqrt(t^2+4)-2+sqrt(3)tanh^(-1)(2/(sqrt(3)))-sqrt(3)tanh^(-1)(sqrt((t^2+4)/3))]
(15)
kappa(t)=3/(a|t|(t^2+4)^(3/2))
(16)
phi(t)=2t-cot^(-1)(2cott)
(17)

对于 a>0 和 t>0。

另请参阅

双纽线, 狄奥克勒斯双纽线的折射包络线, 狄奥克勒斯双纽线的反曲线, 狄奥克勒斯双纽线的垂足曲线, 海蛇线

使用 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学手册，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Gray, A. "狄奥克勒斯双纽线。" §3.5 in 基于 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第 2 版 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 57-61, 1997.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录 New York: Dover, pp. 98-100, 1972.Lockwood, E. H. 曲线之书 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 130-133, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "狄奥克勒斯双纽线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cissoid.html.Smith, D. E. 数学史，第 2 卷：初等数学专题。 New York: Dover, p. 327, 1958.Wells, D. 企鹅好奇有趣的数字词典 Middlesex, England: Penguin Books, p. 34, 1986.Yates, R. C. "双纽线。" 曲线及其性质手册 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 26-30, 1952.

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "狄奥克勒斯双纽线。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CissoidofDiocles.html

主题分类