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马克劳林三分曲线

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MaclaurinTrisectrix

马克劳林三分曲线是科林·马克劳林于 1742 年首次研究的曲线。研究它的目的是为了解决古代几何问题之一，特别是三等分角问题，因此得名三分曲线。马克劳林三分曲线是一个逆反曲线，原点是一个叉点。

马克劳林三分曲线的笛卡尔方程为

y^2=(x^2(x+3a))/(a-x),
(1)

或参数方程

x=a(t^2-3)/(t^2+1)
(2)
y=a(t(t^2-3))/(t^2+1).
(3)

渐近线的方程为 x=a，环的中心位于 (-2a,0)。如果 P 是环上的一个点，使得直线 CP 与负 y轴 的夹角为 角 3alpha，则直线 OP 与负 y轴 的夹角为 角 alpha。

马克劳林三分曲线在极坐标中表示为

r=-(2asin(3theta))/(sin(2theta))
(4)
=-[1+2cos(2theta)]sectheta.
(5)

极坐标方程的另一种形式是极坐标方程

r^*=-asec(1/3theta),
(6)

这是沿 x 轴平移两个单位的版本，因此原点位于环内。

曲线在原点的切线与 x轴 的夹角为 +/-60 degrees。环的面积和弧长为

A_(loop)=3sqrt(3)a^2
(7)
s_(loop)=-6iE(isinh^(-1)(sqrt(3)),1/3)a
(8)
=8.2446532...a
(9)

(OEIS A138499)，其中 E(x,k) 是第二类椭圆积分。

负 x 轴截距为 (-3a,0) (MacTutor Archive)。

马克劳林三分曲线的弧长、曲率和切线角（在上面给出的参数表示中）为

s(t)=-3iaE(isinh^(-1)t,1/3)
(10)
kappa(t)=(24)/(asqrt(1+t^2)(9+t^2)^(3/2))
(11)
phi(t)=-1/2pisgn(t)+3tan^(-1)t-tan^(-1)(1/3t).
(12)

马克劳林三分曲线是以抛物线的焦点在圆锥曲线准线上的反射为垂足的抛物线的垂足曲线。

另请参阅

三等分角, 德·斯鲁兹蚌线, 尼科梅德斯蚌线, 直纹扭线, 契尔恩豪森三次曲线

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参考文献

Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 103-106, 1972.Loy, J. "角的平分。" http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves.MacTutor History of Mathematics Archive. "马克劳林三分曲线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Trisectrix.html.Sloane, N. J. A. Sequences A138499 in "整数序列在线百科全书。"

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "马克劳林三分曲线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MaclaurinTrisectrix.html

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