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半立方抛物线

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SemicubicalParabola

半立方抛物线是形如以下的曲线

y=+/-ax^(3/2)
(1)

(即，它是半个立方，因此具有 3/2 的幂次)。它具有参数方程

x=t^2
(2)
y=at^3,
(3)

和极坐标方程

r=(tan^2thetasectheta)/a.
(4)

抛物线的渐屈线是半立方抛物线的一个特例，也称为奈尔抛物线或尖点三次曲线。在笛卡尔坐标系中，它具有方程

x=3/4(2y)^(2/3)+1/2,
(5)

也可以写成

(x-1/2)^3=3y^2.
(6)

契尔恩豪森三次反射曲线也是一条半立方抛物线。

半立方抛物线是粒子在重力作用下下降时，在相等时间内描述相等垂直间距的曲线，使其成为等时曲线。它由威廉·尼尔于 1657 年发现，是第一个被计算出弧长的非平凡代数曲线。沃利斯在 1659 年发表了该方法，并将功劳归于尼尔（MacTutor 档案馆）。莱布尼茨在 1687 年提出了寻找具有此属性的曲线的问题，惠更斯也解决了这个问题（MacTutor 档案馆）。

半立方抛物线是勒让德标准型 椭圆曲线族的奇异成员

y^2=x(x-1)(x-lambda).
(7)

对于t>0，弧长、曲率和切线角为

s(t)=1/(27)(4+9t^2)^(3/2)-8/(27)
(8)
kappa(t)=6/(t(4+9t^2)^(3/2))
(9)
phi(t)=tan^(-1)(3/2t).
(10)

另请参阅

椭圆曲线, 勒让德标准型, 抛物线, 抛物线渐伸线

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 博卡拉顿，佛罗里达州：CRC Press，第 223-224 页，1987 年。Gray, A. "半立方抛物线。" §1.8 在 使用 Mathematica 的现代曲线和曲面微分几何，第 2 版。 博卡拉顿，佛罗里达州：CRC Press，第 21-22 页，1997 年。Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 纽约：多佛出版社，第 85-87 页，1972 年。MacTutor 数学史档案馆。“尼尔半立方抛物线。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Neiles.html.Smith, D. E. 数学史，第 2 卷：初等数学的特殊主题。 纽约：多佛出版社，第 330 页，1958 年。Yates, R. C. "半立方抛物线。" 曲线及其性质手册。 安娜堡，密歇根州：J. W. Edwards，第 186-187 页，1952 年。

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “半立方抛物线。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SemicubicalParabola.html

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