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魏尔斯特拉斯 Zeta 函数

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魏尔斯特拉斯 zeta 函数 zeta(z;g_2,g_3) 是由下式定义的拟周期函数

(dzeta(z;g_2,g_3))/(dz)=-P(z;g_2,g_3),
(1)

其中 P(z;g_2,g_3) 是具有不变量 g_2 和 g_3 的 魏尔斯特拉斯椭圆函数，其中

lim_(z->0)[zeta(z;g_2,g_3)-z^(-1)]=0.
(2)

与其他 魏尔斯特拉斯椭圆函数 的情况一样，椭圆不变量 g_2 和 g_3 通常为了简洁而被省略。该函数在 Wolfram 语言 中实现为WeierstrassZeta[u, {g2, g3}]。

使用上面的定义得出

zeta(z)-z^(-1)=-int_0^z[P(z)-z^(-2)]dz
(3)
=-sum^'_(m,n=-infty)^inftyint_0^z[(z-Omega_(mn))^(-2)-Omega_(mn)^(-2)]dz,
(4)

其中 Omega_(mn)=2momega_1+2nomega_2，所以

zeta(z)=z^(-1)+sum^'_(m,n=-infty)^infty[(z-Omega_(mn))^(-1)+Omega_(mn)^(-1)+zOmega_(mn)^(-2)]
(5)

所以 zeta(z) 是一个 奇函数。积分 P(z+2omega_1)=P(z) 得到

zeta(z+2omega_1)=zeta(z)+2eta_1.
(6)

令 z=-omega_1 得到

zeta(-omega_1)+2eta_1=-zeta(omega_1)+2eta_1,
(7)

所以

eta_1=zeta(omega_1).
(8)

类似地，

eta_2=zeta(omega_2).
(9)

根据 Whittaker 和 Watson (1990)，

eta_1omega_2-eta_2omega_1=1/2pii.
(10)

如果 x+y+z=0，则

[zeta(x)+zeta(y)+zeta(z)]^2+zeta^'(x)+zeta^'(y)+zeta^'(z)=0
(11)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 446 页）。此外，

2(|1 P(x) P^2(x); 1 P(y) P^2(y); 1 P(z) P^2(z)|)/(|1 P(x) P^'(x); 1 P(y) P^'(y); 1 P(z) P^'(z)|)=zeta(x+y+z)-zeta(x)-zeta(y)-zeta(z)
(12)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 446 页）。

zeta(z) 的级数展开式由下式给出

zeta(z)=z^(-1)-sum_(k=2)^infty(c_kz^(2k-1))/(2k-1),
(13)

其中

c_2=(g_2)/(20)
(14)
c_3=(g_3)/(28)
(15)

和

c_k=3/((2k+1)(k-3))sum_(m=2)^(k-2)c_mc_(k-m)
(16)

对于 k>=4 （Abramowitz 和 Stegun 1972，第 635 页）。因此，前几个系数是

c_4=1/3c_2^2
(17)
c_5=3/(11)c_2c_3
(18)
c_6=1/(39)(2c_2^3+3c_3^2)
(19)
c_7=2/(33)c_2^2c_3
(20)
c_8=5/(7293)(11c_2^4+36c_3^2c_2).
(21)

另请参阅

魏尔斯特拉斯椭圆函数， 魏尔斯特拉斯 Sigma 函数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassZeta/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassZetaHalfPeriodValues/

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "魏尔斯特拉斯椭圆函数和相关函数." 第 18 章，载于数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 纽约：Dover，第 627-671 页，1972 年。Brezhnev, Y. V. "均匀化：关于 Burnside 曲线 y^2=x^5-x." 2001 年 12 月 9 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150。Tölke, F. "特殊的魏尔斯特拉斯 Zeta 函数。" 第 8 章，载于实用函数论，第三卷：雅可比椭圆函数，勒让德椭圆正规积分和特殊的魏尔斯特拉斯 Zeta 和 Sigma 函数。 柏林：Springer-Verlag，第 145-163 页，1967 年。Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "拟周期函数。函数 zeta(z)" 和 "函数 zeta(z) 的拟周期性。" 《现代分析教程，第 4 版。》第 20.4 和 20.41 节，英国剑桥：剑桥大学出版社，第 445-447 和 449-451 页，1990 年。

在 上引用

魏尔斯特拉斯 Zeta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "魏尔斯特拉斯 Zeta 函数。" 来自 --一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/WeierstrassZetaFunction.html

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