魏尔斯特拉斯 Sigma 函数

由以下定义的准周期函数

其中 是魏尔斯特拉斯 zeta 函数，并且

（与其他魏尔斯特拉斯椭圆函数的情况一样，不变量 和 为了简洁起见经常被省略。）那么

其中乘积中省略了 的项，并且 。

令人惊讶的是，，其中 是具有半周期 和 的魏尔斯特拉斯 sigma 函数，可以用 , 和 表示的闭合形式表示。这个常数被称为魏尔斯特拉斯常数。

此外， 满足

并且

对于 , 2, 3。该函数在Wolfram 语言中实现为WeierstrassSigma[u, g2, g3]。

可以用 雅可比 theta 函数表示，表达式为

其中 ，并且

有一个漂亮的级数展开式，由双重级数给出

其中 ，当任一下标为负数时 ，其他值由递推关系给出

(Abramowitz and Stegun 1972, pp. 635-636)。下表给出了小 系数在小的 和 时的值。