向量丛联络

向量丛 vector bundle 上的联络是一种“微分” bundle sections 的方法，其方式类似于函数 的 exterior derivative 。 特别地，联络 是从光滑截面 到具有 one-forms 的 的光滑截面的函数，并满足以下条件。

1. (莱布尼茨法则), 和

2. .

或者，联络可以被认为是 的 bundle sections 的线性映射，即 与 vector field 的截面，到 的截面，类似于 directional derivative。 函数 在向量场 方向上的 directional derivative 由 给出。 联络与向量场 一起，可以应用于 的截面 ，以获得截面 。 从这个角度来看，联络也必须满足

(1)

对于任何光滑函数 。 此属性从第一个定义得出。

例如，trivial bundle 允许 flat connection，因为任何 bundle section 都对应于函数 。 然后设置 给出联络。 trivial bundle 上的任何联络都具有 的形式，其中 是在 中取值的任何 one-form，即 是 one-forms 的矩阵。

one-forms 的矩阵

(2)

确定了在 上的秩为 3 的丛上的联络 。 它通过以下方式作用于截面 。

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

在任何 trivialization 中，联络都可以像 trivial bundle 的情况一样描述。 但是，如果丛 不是 trivial，则 exterior derivative 对于 bundle section 不是 well-defined （全局地）。 尽管如此，任何两个联络之间的差异都必须是在 的 endomorphisms 中取值的 one-forms，即，one forms 的矩阵。 因此，联络空间形成一个 affine space。

丛的 bundle curvature 由公式 给出。 在坐标中， 是 two-forms 的矩阵。 例如，在上面的例子中，

(9)

是曲率。

描述联络的另一种方式是作为 的 tangent bundle 的分裂，如 。 的垂直部分对应于沿纤维的切向量，并且是 的核。 水平部分不是先验 well-defined 的。 联络定义了 的子空间，该子空间与 同构。 它定义了 个 flat sections 使得 ，它们是 的 fiber bundles 的 vector basis，至少在 附近。 这些 flat sections 确定了 在 附近的水平部分。 此外，向量丛上的联络可以通过 associated principal bundle 上的 principal bundle connection 来定义。

在某些设置中，存在规范联络。 例如，Riemannian manifold 具有 Levi-Civita connection，由 Christoffel symbols of the first 和 second kinds 给出，它是与度量兼容的唯一无挠联络。 具有 Hermitian metric 的 holomorphic vector bundle 具有与度量和 complex structure 都兼容的唯一联络。