向量丛联络 -- 来自

向量丛 vector bundle 上的联络是一种“微分” bundle sections 的方法，其方式类似于函数的 exterior derivative 。特别地，联络是从光滑截面到具有 one-forms 的的光滑截面的函数，并满足以下条件。

1. (莱布尼茨法则), 和

2. .

或者，联络可以被认为是的 bundle sections 的线性映射，即与 vector field 的截面，到的截面，类似于 directional derivative。函数在向量场方向上的 directional derivative 由给出。联络与向量场一起，可以应用于的截面，以获得截面。从这个角度来看，联络也必须满足

(1)

对于任何光滑函数。此属性从第一个定义得出。

例如，trivial bundle 允许 flat connection，因为任何 bundle section 都对应于函数。然后设置给出联络。 trivial bundle 上的任何联络都具有的形式，其中是在中取值的任何 one-form，即是 one-forms 的矩阵。

one-forms 的矩阵

alpha=[dx 2xdy 0; 0 dx-3dy 0; xydx 0 y^2dx+dy]

(2)

确定了在上的秩为 3 的丛上的联络。它通过以下方式作用于截面。

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

在任何 trivialization 中，联络都可以像 trivial bundle 的情况一样描述。但是，如果丛不是 trivial，则 exterior derivative 对于 bundle section 不是 well-defined （全局地）。尽管如此，任何两个联络之间的差异都必须是在的 endomorphisms 中取值的 one-forms，即，one forms 的矩阵。因此，联络空间形成一个 affine space。

丛的 bundle curvature 由公式给出。在坐标中，是 two-forms 的矩阵。例如，在上面的例子中，

Omega=[0 2xdx ^ dy 0; 0 -3dx ^ dy 0; 0 2x^2ydx ^ dy y^2dx ^ dy]

(9)

是曲率。

描述联络的另一种方式是作为的 tangent bundle 的分裂，如。的垂直部分对应于沿纤维的切向量，并且是的核。水平部分不是先验 well-defined 的。联络定义了的子空间，该子空间与同构。它定义了个 flat sections 使得，它们是的 fiber bundles 的 vector basis，至少在附近。这些 flat sections 确定了在附近的水平部分。此外，向量丛上的联络可以通过 associated principal bundle 上的 principal bundle connection 来定义。