纤维丛

一个纤维丛（也简称为丛），其纤维为 是一个映射 ，其中 称为纤维丛的全空间，而 称为纤维丛的底空间。成为纤维丛的主要条件是，底空间 中的每个点都有一个邻域 ，使得 与 以一种特殊的方式同胚。具体来说，如果

是同胚，则

其中映射 表示到 分量的投影。 “与投影交换”的同胚 称为纤维丛 的局部平凡化。换句话说， 看起来像乘积 （至少在局部上），只是纤维 对于 可能会有点“扭曲”。

纤维丛是最通用的丛类型。特殊情况通常通过将“纤维”一词替换为描述所用纤维的词来描述，例如，向量丛和主丛。

纤维丛的例子包括任何乘积 （这是一个在 上的丛，其纤维为 ），莫比乌斯带（这是一个在圆上的纤维丛，其纤维由单位区间 [0,1] 给出；即底空间是圆），以及 （这是一个在 上的丛，其纤维为 ）。纤维丛的一个特殊类别是向量丛，其中纤维是一个向量空间。

函数 的图的一些性质可以推广到纤维丛。这种函数的图位于 中，形式为 。图总是投影到底 上，并且是一对一的。

纤维丛 是一个全空间，并且像 一样，它有一个投影 。原像 ，对于任何点 ，都与 同构。与 不同，从 到 没有规范投影。相反，到 的映射仅在 上局部有意义。在底 中任何点 附近， 存在平凡化，其中存在从邻域到 的实际函数。

这些局部函数有时可以拼凑在一起，以给出 (全局) 截面 ，使得 的投影是恒等映射。这类似于从函数 的域 到其在 中的图的映射，由 给出。

纤维丛还带有纤维上的群作用。这种群作用表示纤维可以被视为等价的不同方式。例如，在拓扑学中，群可能是纤维的同胚群。向量丛上的群是可逆线性映射群，这反映了使用不同向量基的向量空间的等价描述。

纤维丛并不总是用于推广函数。有时，它们是对有趣的流形的便捷描述。几何拓扑中的一个常见例子是圆上的环面丛。