主丛是纤维丛的一个特例,其中纤维是一个群 。更具体地说,
通常是一个李群。主丛是一个全空间
以及一个到底流形
的满射
。任何纤维
是一个与
同构的空间。更具体地说,
在纤维上自由地作用而没有不动点,这使得纤维成为一个齐性空间。例如,在圆丛的情况下(即,当
时),纤维是圆,可以旋转,尽管没有特定的点对应于单位元。在每个点附近,可以通过选择每个纤维中的一个元素作为单位元,在
的邻域之上的纤维中赋予
的群结构。然而,除非在平凡丛的情况下,否则纤维不能被赋予全局群结构。
一个重要的主丛是标架丛,在黎曼流形上。这个丛反映了为切向量提供标准正交基的不同方式。
考虑球面上所有的单位切向量。这是一个在球面上的主丛 ,其纤维是圆
。每个切向量都投影到其在
中的基点,给出映射
。在
中的每个点之上,都有一个单位切向量的圆。没有特定的向量被挑选出来作为单位元,但是旋转群
在纤维上自由地作用而没有不动点。
以类似的方式,任何纤维丛都对应于一个主丛,其中(主丛的)群是(纤维丛的)纤维的同构群。给定一个主丛 和
在空间
上的作用(可能是一个群表示),这可以反过来给出相伴纤维丛。
主丛的平凡化, 中的开集
,使得在
之上的丛,
,可以表示为
,具有群
从左侧作用的性质。也就是说,
通过
作用于
。追溯这些定义,不难看出转移函数的值在
中,通过右乘作用于纤维。这样,
在纤维上的作用与坐标图无关。