主丛

主丛是纤维丛的一个特例，其中纤维是一个群 。更具体地说， 通常是一个李群。主丛是一个全空间 以及一个到底流形 的满射 。任何纤维 是一个与 同构的空间。更具体地说， 在纤维上自由地作用而没有不动点，这使得纤维成为一个齐性空间。例如，在圆丛的情况下（即，当 时），纤维是圆，可以旋转，尽管没有特定的点对应于单位元。在每个点附近，可以通过选择每个纤维中的一个元素作为单位元，在 的邻域之上的纤维中赋予 的群结构。然而，除非在平凡丛的情况下，否则纤维不能被赋予全局群结构。

一个重要的主丛是标架丛，在黎曼流形上。这个丛反映了为切向量提供标准正交基的不同方式。

考虑球面上所有的单位切向量。这是一个在球面上的主丛 ，其纤维是圆 。每个切向量都投影到其在 中的基点，给出映射 。在 中的每个点之上，都有一个单位切向量的圆。没有特定的向量被挑选出来作为单位元，但是旋转群 在纤维上自由地作用而没有不动点。

以类似的方式，任何纤维丛都对应于一个主丛，其中（主丛的）群是（纤维丛的）纤维的同构群。给定一个主丛 和 在空间 上的作用（可能是一个群表示），这可以反过来给出相伴纤维丛。

主丛的平凡化， 中的开集 ，使得在 之上的丛，，可以表示为 ，具有群 从左侧作用的性质。也就是说， 通过 作用于 。追溯这些定义，不难看出转移函数的值在 中，通过右乘作用于纤维。这样， 在纤维上的作用与坐标图无关。