二次型

一个涉及个实变量 , , ..., 与矩阵相关的二次型由下式给出

(1)

其中使用了爱因斯坦求和约定。令为由 , ..., 组成的向量，为转置，则

(2)

等价于

(3)

在内积表示法中。二元二次型是两个变量的二次型，形式如下

(4)

总是可以将任意二次型

(5)

表示为以下形式

(6)

其中是由下式给出的对称矩阵

$a_(ij)={alpha_(ii) i=j; 1/2(alpha_(ij)+alpha_(ji)) i!=j.$

(7)

任何个变量的实二次型都可以通过适当的正交点变换简化为对角形式

(8)

通过适当的正交点变换得到。此外，两个实二次型在线性变换群下等价，当且仅当它们具有相同的二次型秩和二次型符号。

另请参阅

不连通型, 不定二次型, 内积, 整数矩阵型, 正定二次型, 半正定二次型, 二次的, 二次型秩, 二次型符号, 西尔维斯特惯性定律, 对称二次型

使用 Wolfram|Alpha 探索

更多尝试

参考文献

Bayer-Fluckinger, E.; Lewis, D.; and Ranicki, A. (编.). Quadratic Forms and Their Applications: Proceedings of the Conference on Quadratic Forms and Their Applications, July 5-9, 1999, University College, Dublin. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Buell, D. A. Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations. New York:Springer-Verlag, 1989.Conway, J. H. and Fung, F. Y. The Sensual (Quadratic) Form. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1104-106, 2000.Kitaoka, Y. Arithmetic of Quadratic Forms. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Weisstein, E. W. "Books about Quadratic Forms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/QuadraticForms.html.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

二次型

请引用为

Weisstein, Eric W. "Quadratic Form." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticForm.html