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二次型

一个涉及 n 个实变量 x_1, x_2, ..., x_n 与 n×n 矩阵 A=a_(ij) 相关的二次型由下式给出

Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_(ij)x_ix_j,
(1)

其中使用了爱因斯坦求和约定。令 x 为由 x_1, ..., x_n 组成的向量，x^(T) 为转置，则

Q(x)=x^(T)Ax,
(2)

等价于

Q(x)=<x,Ax>
(3)

在内积表示法中。二元二次型是两个变量的二次型，形式如下

Q(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2.
(4)

总是可以将任意二次型

Q(x)=alpha_(ij)x_ix_j
(5)

表示为以下形式

Q(x)=(x,Ax),
(6)

其中 A=a_(ii) 是由下式给出的对称矩阵

a_(ij)={alpha_(ii) i=j; 1/2(alpha_(ij)+alpha_(ji)) i!=j.
(7)

任何 n 个变量的实二次型都可以通过适当的正交点变换简化为对角形式

Q(x)=lambda_1x_1^2+lambda_2x_2^2+...+lambda_nx_n^2
(8)

通过适当的正交点变换得到 lambda_1>=lambda_2>=...>=lambda_n。此外，两个实二次型在线性变换群下等价，当且仅当它们具有相同的二次型秩和二次型符号。

另请参阅

不连通型, 不定二次型, 内积, 整数矩阵型, 正定二次型, 半正定二次型, 二次的, 二次型秩, 二次型符号, 西尔维斯特惯性定律, 对称二次型

使用 探索

参考文献

Bayer-Fluckinger, E.; Lewis, D.; and Ranicki, A. (编.). Quadratic Forms and Their Applications: Proceedings of the Conference on Quadratic Forms and Their Applications, July 5-9, 1999, University College, Dublin. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Buell, D. A. Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations. New York:Springer-Verlag, 1989.Conway, J. H. and Fung, F. Y. The Sensual (Quadratic) Form. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1104-106, 2000.Kitaoka, Y. Arithmetic of Quadratic Forms. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Weisstein, E. W. "Books about Quadratic Forms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/QuadraticForms.html.

在 上被引用

二次型

请引用为

Weisstein, Eric W. "Quadratic Form." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticForm.html

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