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高斯圆问题

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GausssCircleProblem

计算 格点 N(r) 在以原点为圆心的 圆 的 半径 r 边界内的数量。精确解由以下和给出

N(r)=1+4|_r_|+4sum_(i=1)^(|_r_|)|_sqrt(r^2-i^2)_|
(1)
=1+4sum_(i=1)^(r^2)(-1)^(i-1)|_(r^2)/(2i-1)_|
(2)
=1+4sum_(i=0)^(infty)(|_(r^2)/(4i+1)_|-|_(r^2)/(4i+3)_|)
(3)

（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, p. 39）。r=0, 1, ... 的前几个值是 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, ... (OEIS A000328)。

N(r) 的级数与平方和函数 r(n) （即，n 表示为两个平方和的表示数）密切相关，因为

N(r)=sum_(n=0)^(r^2)r(n)
(4)

（Hardy 1999, p. 67）。N(r) 也与莱布尼茨级数密切相关，因为

1/4[(N(r))/(r^2)-1/(r^2)]=1-1/3+1/5-1/7+...+/-1/r+/-(E(r))/r =1/4[pi+2Phi(-1,1,1/2+r)]+/-(E(r))/r =1/4[pi+psi_0(1/4(3+2r))-psi_0(1/4(1+2r))]+/-(E(r))/r,
(5)

其中 Phi(z,s,a) 是一个 Lerch 超越函数，psi_0(x) 是一个 digamma 函数，因此取极限 r->infty 得到

1/4pi=1-1/3+1/5-1/7+1/9+...
(6)

（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, p. 39）。

高斯表明

N(r)=pir^2+E(r),
(7)

其中

|E(r)|<=2sqrt(2)pir
(8)

（Hardy 1999, p. 67）。

GausssCirclePi

N(r)/r^2 的前几个值是 5, 13/4, 29/9, 49/16, 81/25, 113/36, 149/49, 197/64, 253/81, 317/100, 377/121, 49/16, ... (OEIS A000328 和 A093837)。如上图所示，r 使得 N(r)/r^2>pi 的值是 r=2, 3, 4, 6, 11, 16, 21, 36, 52, 53, 86, 101, ... (OEIS A093832)。

写作 |E(r)|<=Cr^theta，关于 theta 的最佳界限是

1/2<theta<=131/208 approx 0.62981
(9)

（Huxley 2003）。下限 1/2 由 Hardy 和 Landau 于 1915 年独立获得。下表总结了上限的增量改进（根据 Hardy 1999, p. 81 更新）。

theta近似值引用
11.00000Dirichlet
2/30.66667Voronoi (1903), Sierpiński (1906), van der Corput (1923)
37/560.66071Littlewood 和 Walfisz (1925)
33/500.66000van der Corput (1922)
27/410.65854van der Corput (1928)
15/230.65217
24/370.64865Chen (1963), Kolesnik (1969)
35/540.64815Kolesnik (1982)
278/4290.64802Kolesnik
34/530.64151Vinogradov (1935)
7/110.63636Iwaniec 和 Mozzochi (1988)
46/730.63014Huxley (1993)
131/2080.62981Huxley (2003)

该问题也已扩展到圆锥曲线、椭球体 (Hardy 1915) 和更高维度。

参见

圆格点, 狄利克雷除数问题, 莱布尼茨级数, 辛策尔圆, 平方和函数

使用 探索

参考文献

Bohr, H. and Cramér, H. "Ellipsoidprobleme." In "Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie." Ch. IIC88 in Enzykl. d. Math. Wiss., Vol. 2, Part 3, Issue 2 II C 8, 823-824, 1922.Chen, J.-R. "The Lattice-Points in a Circle." Sci. Sinica 12, 633-649, 1963.Cilleruello, J. "The Distribution of Lattice Points on Circles." J. Number Th. 43, 198-202, 1993.Graham, S. W. and Kolesnik, G. Van Der Corput's Method of Exponential Sums. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1991.Guy, R. K. "Gauß's Lattice Point Problem." §F1 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 240-241, 1994.Hardy, G. H. "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares." Quart. J. Math. 46, 263-283, 1915.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. 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在 中被引用

高斯圆问题

请引用为

Weisstein, Eric W. “高斯圆问题。” 来自 --一个 资源。 https://mathworld.net.cn/GausssCircleProblem.html

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