多面体公式

一个关联多面体顶点 、面 和多面体棱 数量的公式，适用于单连通（即亏格为 0）多面体（或多边形）。它由欧拉（1752 年）和笛卡尔独立发现，因此也称为笛卡尔-欧拉多面体公式。该公式也适用于某些，但并非全部，非凸多面体。

多面体公式指出

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其中 是多面体顶点的数量， 是多面体棱的数量，而 是面的数量。有关证明，请参见 Courant 和 Robbins（1978 年，第 239-240 页）。

这个公式被 Schläfli 推广到 维多胞形（Coxeter 1973 年，第 233 页），

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并由庞加莱证明（Poincaré 1893 年；Coxeter 1973 年，第 166-171 页；Williams 1979 年，第 24-25 页）。

对于亏格为 的曲面，该公式可以推广到庞加莱公式

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其中

(8)

是欧拉示性数，有时也称为欧拉-庞加莱示性数。多面体公式对应于特殊情况 。

存在不满足多面体公式的多胞形，其中最著名的是大十二面体 和小星形十二面体 ，施莱夫利本人就拒绝承认它们（Schläfli 1901 年，第 134 页），因为对于这些实体，

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（Coxeter 1973 年，第 172 页）。