一个首一多项式的伴随矩阵
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(1)
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是 
方阵
![A=[0 0 ... 0 -a_0; 1 0 ... 0 -a_1; 0 1 ... 0 -a_2; | | ... ... |; 0 0 ... 1 -a_(n-1)]](/images/equations/CompanionMatrix/NumberedEquation2.svg) |
(2)
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其次对角线上元素为 1，最后一列由 
的系数给出。请注意，在文献中，伴随矩阵有时定义为行和列互换，即上述矩阵的转置。
当 
是标准基时，伴随矩阵满足
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(3)
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对于 
，以及
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(4)
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包括
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(5)
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，它也是其伴随矩阵用于将矩阵写入有理标准型。事实上，任何 
矩阵，其矩阵最小多项式 
的多项式次数为 
，都相似于 
的伴随矩阵。当 
的次数小于 
时，有理标准型更有意义。
以下 Wolfram 语言命令给出了变量 
中多项式 
的伴随矩阵。
CompanionMatrix[p_, x_] := Module[
{n, w = CoefficientList[p, x]},
w = -w/Last[w];
n = Length[w] - 1;
SparseArray[{{i_, n} :> w[[i]], {i_, j_} /;
i == j + 1 -> 1}, {n, n}]]
