矩阵最小多项式

矩阵 的最小多项式是首一多项式，在 中具有最小次数 ，使得

(1)

最小多项式可以整除任何满足 且 的多项式 ，特别地，它可以整除特征多项式。

如果特征多项式分解为

(2)

那么它的最小多项式由下式给出

(3)

对于某些正整数 ，其中 满足 。

例如，特征多项式 零矩阵 是 ，而其最小多项式是 。然而，以下矩阵的特征多项式和最小多项式都是

(4)

均为 。

以下 Wolfram 语言代码将找到变量 中方阵 的最小多项式。

  MatrixMinimalPolynomial[a_List?MatrixQ,x_]:=Module[
    {
      i,
      n=1,
      qu={},
      mnm={Flatten[IdentityMatrix[Length[a]]]}
    },
    While[Length[qu]==0,
      AppendTo[mnm,Flatten[MatrixPower[a,n]]];
      qu=NullSpace[Transpose[mnm]];
      n++
    ];
    First[qu].Table[x^i,{i,0,n-1}]
  ]