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欧拉参数

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描述绕任意轴有限旋转的四个参数 e_0, e_1, e_2, 和 e_3。 欧拉参数定义为

e_0=cos(phi/2)
(1)
e=[e_1; e_2; e_3]
(2)
=n^^sin(phi/2),
(3)

其中 n^^ 是单位法向量，并且是以标量-向量表示的四元数

(e_0,e)=e_0+e_1i+e_2j+e_3k.
(4)

因为欧拉旋转定理指出，任意旋转可以用仅三个参数描述，因此这四个量之间必然存在关系

e_0^2+e·e=e_0^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2
(5)
=1
(6)

(Goldstein 1980, 第 153 页)。 旋转角与欧拉参数的关系为

cosphi=2e_0^2-1
(7)
=e_0^2-e·e
(8)
=e_0^2-e_1^2-e_2^2-e_3^2
(9)

and

n^^sinphi=2ee_0.
(10)

欧拉参数可以用欧拉角表示为

e_0=cos[1/2(phi+psi)]cos(1/2theta)
(11)
e_1=cos[1/2(phi-psi)]sin(1/2theta)
(12)
e_2=sin[1/2(phi-psi)]sin(1/2theta)
(13)
e_3=sin[1/2(phi+psi)]cos(1/2theta)
(14)

(Goldstein 1980, 第 155 页)。

使用欧拉参数，旋转公式变为

r^'=r(e_0^2-e_1^2-e_2^2-e_3^2)+2e(e·r)+(r×n^^)sinphi,
(15)

并且旋转矩阵变为

[x^'; y^'; z^']=A[x; y; z],
(16)

其中矩阵的元素为

a_(ij)=delta_(ij)(e_0^2-e_ke_k)+2e_ie_j+2epsilon_(ijk)e_0e_k.
(17)

这里使用了爱因斯坦求和约定，delta_(ij) 是克罗内克 delta，并且 epsilon_(ijk) 是置换符号。 显式写出，矩阵元素为

a_(11)=e_0^2+e_1^2-e_2^2-e_3^2
(18)
a_(12)=2(e_1e_2+e_0e_3)
(19)
a_(13)=2(e_1e_3-e_0e_2)
(20)
a_(21)=2(e_1e_2-e_0e_3)
(21)
a_(22)=e_0^2-e_1^2+e_2^2-e_3^2
(22)
a_(23)=2(e_2e_3+e_0e_1)
(23)
a_(31)=2(e_1e_3+e_0e_2)
(24)
a_(32)=2(e_2e_3-e_0e_1)
(25)
a_(33)=e_0^2-e_1^2-e_2^2+e_3^2.
(26)

另请参阅

欧拉角, 四元数, 旋转公式, 旋转矩阵

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

欧拉参数

引用为

Weisstein, Eric W. "欧拉参数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulerParameters.html

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