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曼德勃罗集

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术语曼德勃罗集通常既指一类通用的分形集，也指这类集合的特定实例。一般来说，曼德勃罗集标记了复平面中的点集，使得相应的朱利亚集是连通的并且不是可计算的。

“该”曼德勃罗集是从二次递推方程获得的集合

z_(n+1)=z_n^2+C
(1)

其中 z_0=C，其中复平面中的点 C，对于这些点，z_n 的轨道不会趋于无穷大，则属于该集合。将 z_0 等于集合中任何不是周期点的点都会得到相同的结果。曼德勃罗集最初被 Mandelbrot 称为 mu 分子。J. Hubbard 和 A. Douady 证明了曼德勃罗集是连通的。

MandelbrotSet

上面显示了曼德勃罗集的图，其中复平面中 C 的值根据达到 r_(max)=2 所需的步数进行着色。曼德勃罗集的肾形部分最终被一个具有以下方程的心脏线包围

4x=2cost-cos(2t)
(2)
4y=2sint-sin(2t).
(3)

相邻部分是一个圆，中心位于 (-1,0)，半径为 1/4。

SeaHorseValley

曼德勃罗集的中心区域在 -0.75+0.1i 附近，有时被称为海马谷，因为其中出现的螺旋形状类似于海马尾巴 (Giffin, Munafo)。

ElephantValley

类似地，曼德勃罗集的中心区域在 0.3+0i 附近，大小约为 0.1+0.1i，被称为象谷。

Shishikura (1994) 证明了曼德勃罗集的边界是分形，豪斯多夫维数为 2，驳斥了 Elenbogen 和 Kaeding (1989) 关于它不是分形的结论。然而，曼德勃罗集是否是路径连通的尚不清楚。如果它是路径连通的，那么 Hubbard 和 Douady 的证明意味着曼德勃罗集是一个圆的图像，并且可以通过折叠内部的某些弧线从圆盘构建而成 (Douady 1986)。

MandelbrotSetAreas

曼德勃罗集的面积可以精确地写成

A=pi(1-sum_(n=1)^inftynb_n^2)
(4)

其中 b_n 是共形映射 psi 的无穷远处的洛朗级数的系数，该映射将单位圆盘的外部映射到曼德勃罗集的外部，

psi(w)=w+sum_(n=0)^(infty)b_nw^(-n)
(5)
=w-1/2+1/8w^(-1)-1/4w^(-2)+(15)/(128)w^(-3)+0w^(-4)-(47)/(1024)w^(-5)+...
(6)

(OEIS A054670 和 A054671; Ewing 和 Schober 1992)。b_n 的递归由下式给出

b_n={-1/2 for n=0; -(w_(n,n+1))/n otherwise
(7)
w_(n,m)={0 for n=0; a_(m-1)+w_(n-1,m)+sum_(j=0)^(m-2)a_jw_(n-1,m-j-1) otherwise
(8)
a_j=u_(0,j+1)
(9)
u_(n,k)={1 for 2^n-1=k; sum_(j=0)^(k)u_(n-1,j)u_(n-1,k-j) for 2^n-1>k; 0 for 2^(n+1)-1>k; 1/2(u_(n+1,k)-sum_(j=1)^(k-1)u_(n,j)u_(n,k-j)) otherwise.
(10)

这些系数可以递归计算，但尚不清楚闭合形式。此外，该总和收敛非常缓慢，因此需要 10^(118) 项才能获得前两位数字，需要 10^(1181) 项才能获得三位数字。Ewing 和 Schober (1992) 计算了 240000 个 b_n 值，发现 -1<nb_n<1 在此范围内，并推测此不等式始终成立。此计算还提供了极限 A<=1.7274，并使作者相信真实值介于 1.66 和 1.71 之间。

通过像素计数获得的集合面积为 1.50659177+/-0.00000008 (OEIS A098403; Munafo; Lesmoir-Gordon et al. 2000, p. 97)，通过统计抽样获得的面积为 1.506484+/-0.000004，置信度为 95% (Mitchell 2001)，这两者都明显小于 Ewing 和 Schober (1992) 的估计值。

MandelbrotLemniscates

为了可视化曼德勃罗集，可以将点被认为已逃逸的极限近似为 r_(max) 而不是无穷大。然后，可以通过根据非成员点发散到 r_(max) 的速度对其进行着色来创建精美的计算机生成图。一个常见的选择是将一个称为计数的整数定义为最大的 n，使得 |z_n|<r_(max)，其中 r 可以方便地取为 r_(max)=2，并为不同计数的点着色不同的颜色。连续计数之间的边界定义了一系列“曼德勃罗集双纽线”（或“等势线”；Peitgen 和 Saupe 1988），其定义是通过迭代二次递归，

L_n(C)=z_n=r_(max).
(11)

因此，前几个双纽线由下式给出

L_1(C)=C
(12)
L_2(C)=C(C+1)
(13)
=C^2+C
(14)
L_3(C)=C+(C+C^2)^2
(15)
=C^4+2C^3+C^2+C
(16)
L_4(C)=C+[C+(C+C^2)^2]^2
(17)
=C^8+4C^7+6C^6+6C^5+5C^4+2C^3+C^2+C
(18)

(OEIS A114448)。

当写成 C=x+iy 并取每边的绝对平方时，双纽线可以在复平面中绘制，前几个由下式给出

r^2=x^2+y^2
(19)
r^2=(x^2+y^2)[(x+1)^2+y^2]
(20)
r^2=(x^2+y^2)(1+2x+5x^2+6x^3+6x^4+4x^5+x^6-3y^2-2xy^2+8x^2y^2+8x^3y^2+3x^4y^2+2y^4+4xy^4+3x^2y^4+y^6).
(21)

这些是一个圆（黑色）、一个卵形线（红色）和一个梨形曲线（黄色）。事实上，第二个曼德勃罗集双纽线 L_2 可以用新的坐标系表示，其中 x^'=x-1/2 为

[(x^'-1/2)^2+y^2][(x^'+1/2)^2+y^2]=r^2,
(22)

这只是一个 卡西尼卵形线，其中 a=1/2 和 b^2=r。曼德勃罗集双纽线随着计数的增加而变得越来越复杂，如上图所示，并且随着计数趋于无穷大而接近曼德勃罗集。

MandelbrotSin

术语曼德勃罗集也可以应用于“该”曼德勃罗集的推广，其中函数 f(z)=z^2+C 被其他函数替换。在上面的图中，f(z)=sin(z/c), z_0=c, 并且 c 允许在复平面中变化。请注意，对于不位于分形吸引子中的 z_0 的选择，可以获得完全不同的集合（不是曼德勃罗集）。因此，例如，在上面的集合中，选择 z_0 在单位圆盘内但在红色盆地之外，会得到一组外观完全不同的图像。

MandelbrotSetPowers

曼德勃罗集的推广可以通过用 z_n^k 或 (z^__n)^k 替换 z_n^2 来构造，其中 k 是一个正整数，z^_ 表示 z 的复共轭。上面的图显示了对于 k=2、3 和 4 获得的分形 (Dickau)。底部的图用 z^_ 替换了 z，有时被称为“曼德勃条集”。

另请参阅

仙人掌分形, 象谷, 分形, 朱利亚集, 曼德勃条集, 曼德勃罗集双纽线, 二次映射, Randelbrot 集, 海马谷 在 MathWorld 教室中探索此主题

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

曼德勃罗集

引用为

Weisstein, Eric W. "曼德勃罗集。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MandelbrotSet.html

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