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Cayley-Klein 参数

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参数 alpha, beta, gamma, 和 delta，它们像三个欧拉角一样，提供了一种独特描述刚体方向的方法。这些参数满足以下恒等式

alphaalpha^_+gammagamma^_=1
(1)
alphaalpha^_+betabeta^_=1
(2)
betabeta^_+deltadelta^_=1
(3)
alpha^_beta+gamma^_delta=0
(4)
alphadelta-betagamma=1
(5)

和

beta=-gamma^_
(6)
delta=alpha^_,
(7)

其中 z^_ 表示复共轭。用欧拉角 theta, phi, 和 psi 表示，Cayley-Klein 参数由下式给出

alpha=e^(i(psi+phi)/2)cos(1/2theta)
(8)
beta=ie^(i(psi-phi)/2)sin(1/2theta)
(9)
gamma=ie^(-i(psi-phi)/2)sin(1/2theta)
(10)
delta=e^(-i(psi+phi)/2)cos(1/2theta)
(11)

(Goldstein 1980, p. 155)。

变换矩阵用 Cayley-Klein 参数表示为

A=[1/2(alpha^2-gamma^2+delta^2-beta^2) 1/2i(gamma^2-alpha^2+delta^2-beta^2) gammadelta-alphabeta; 1/2i(alpha^2+gamma^2-beta^2-delta^2) 1/2(alpha^2+gamma^2+beta^2+delta^2) -i(alphabeta+gammadelta); betadelta-alphagamma i(alphagamma+betadelta) alphadelta+betagamma]
(12)

(Goldstein 1980, p. 153)。

Cayley-Klein 参数可以被视为一个矩阵（用 Q 表示，因其与四元数的密切关系）的参数

Q=[alpha beta; gamma delta]
(13)

该矩阵表征了以下变换

u^'=alphau+betav
(14)
v^'=gammau+deltav.
(15)

具有复轴的线性空间。该矩阵满足

Q^(H)Q=QQ^(H)=I,
(16)

其中 I 是单位矩阵，A^(H) 是共轭转置，以及

|Q|^(H)|Q|=1.
(17)

用欧拉参数 e_i 和 Pauli 矩阵 sigma_i 表示，Q 矩阵可以写成

Q=e_0I+i(e_1sigma_1+e_2sigma_2+e_3sigma_3)
(18)

(Goldstein 1980, p. 156)。

另请参阅

欧拉角, 欧拉参数, Pauli 矩阵, 四元数, 旋转

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参考文献

Goldstein, H. "The Cayley-Klein Parameters and Related Quantities." §4-5 in Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 148-158, 1980.Varshalovich, D. A.; Moskalev, A. N.; and Khersonskii, V. K. "Description of Rotations in Terms of Unitary 2×2 Matrices. Cayley-Klein Parameters." §1.4.3 in Quantum Theory of Angular Momentum. Singapore: World Scientific, pp. 24-27, 1988.

在 Wolfram|Alpha 中引用

Cayley-Klein 参数

引用为

Weisstein, Eric W. "Cayley-Klein Parameters." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Cayley-KleinParameters.html

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