共形映射，也称为共形图、共形变换、保角变换或双全纯映射，是一种 变换 
，它保留局部角度。一个解析函数在其导数非零的任何点都是共形的。反之，任何具有连续偏导数的复变量的共形映射都是解析的。共形映射在复分析以及物理学和工程学的许多领域中都极其重要。
一种保留角度的大小但不保留其方向的映射称为等角映射（Churchill 和 Brown 1990，第 241 页）。
上面第一个图中说明了规则网格的几种共形变换。在上面第二个图中，显示了常数 
的轮廓以及变换后它们对应的轮廓。Moon 和 Spencer（1988）以及 Krantz（1999，第 183-194 页）给出了共形映射表。
Szegö 提出的一种方法给出了正方形到圆盘的共形映射的迭代近似，并且可以使用椭圆函数完成精确映射（Oberhettinger 和 Magnus 1949；Trott 2004，第 71-77 页）。
设 
和 
分别是在 复平面中 
和 
处的曲线 
和 
的切线，
![arg(w-w_0)=arg[(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)]+arg(z-z_0).](/images/equations/ConformalMapping/NumberedEquation1.svg) |
(3)
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然后当 
且 
时，
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(4)
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(5)
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一个函数 
是共形的当且仅当存在复数 
和 
使得
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(6)
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对于 
（Krantz 1999，第 80 页）。此外，如果 
是一个解析函数，使得
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(7)
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则 
是 
的多项式（Greene 和 Krantz 1997；Krantz 1999，第 80 页）。
共形变换可以证明在解决物理问题中非常有用。通过令 
，实部和虚部 
必须满足 柯西-黎曼方程 和 拉普拉斯方程，因此它们自动提供标量势函数和所谓的流函数。如果可以找到一个物理问题，其解是有效的，那么我们就可以通过反向工作获得一个解——这可能很难直接获得。
例如，令
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(8)
|
实部和虚部然后给出
对于 
，
这是一个双双纽线系统（Lamb 1945，第 69 页）。
对于 
，
此解由两个圆系统组成，
是两个平行的相反带电线电荷的势函数（Feynman等人1989，§7-5；Lamb 1945，第 69 页）。
对于 
，
给出了薄板边缘附近的场（Feynman等人1989，§7-5）。
对于 
，
给出两条直线（Lamb 1945，第 68 页）。
对于 
，
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(19)
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给出了矩形角外部附近的场（Feynman等人1989，§7-5）。
对于 
，
这是两个垂直的双曲线，
是两个点电荷中间附近的势函数或带电直角导体开口侧的场（Feynman 1989，§7-3）。
另请参阅
解析函数,
柯西-黎曼方程,
凯莱变换,
共形投影,
离散共形映射,
调和函数,
间接共形映射,
等角映射,
拉普拉斯方程,
莫比乌斯变换,
拟共形映射,
施瓦茨-克里斯托费尔映射,
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参考文献
Arfken, G. "Conformal Mapping." §6.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 392-394, 1985.Bergman, S. The Kernel Function and Conformal Mapping. New York: Amer. Math. Soc., 1950.Carathéodory, C. Conformal Representation. New York: Dover, 1998.Carrier, G.; Crook, M.; and Pearson, C. E. Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. New York: McGraw-Hill, 1966.Churchill, R. V. and Brown, J. W. Complex Variables and Applications, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1990.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 80, 1967.Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; and Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1989.Greene, R. E. and Krantz, S. G. Function Theory of One Complex Variable. New York: Wiley, 1997.Katznelson, Y. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover, 1976.Kober, H. Dictionary of Conformal Representations. New York: Dover, 1957.Krantz, S. G. "Conformality," "The Geometric Theory of Holomorphic Functions," "Applications That Depend on Conformal Mapping," and "A Pictorial Catalog of Conformal Maps." §2.2.5, Ch. 6, Ch. 14, and Appendix to Ch. 14 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 25, 79-88, and 163-194, 1999.Kythe, P. K. Computational Conformal Mapping. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.Lamb, H. Hydrodynamics, 6th ed. New York: Dover, 1945.Mathews, J. "Conformal Mappings." http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/fofz/cmaps.html.Moon, P. and Spencer, D. E. "Conformal Transformations." §2.01 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 49-76, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. "Conformal Mapping." §4.7 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 358-362 and 443-453, 1953.Nehari, Z. Conformal Mapping. New York: Dover, 1982.Oberhettinger, F. and Magnus, W. Anwendungen der elliptischen Funktionen in Physik and Technik. Berlin: Springer-Verlag, 1949.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.在 Wolfram|Alpha 上引用
共形映射
请引用本文为
Weisstein, Eric W. “共形映射。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConformalMapping.html
学科分类
![A(x+iy)^2=A[(x^2-y^2)+2ixy]](/images/equations/ConformalMapping/Inline67.svg)
