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格林函数--亥姆霍兹微分方程

非齐次亥姆霍兹微分方程为

del ^2psi(r)+k^2psi(r)=rho(r),
(1)

其中亥姆霍兹算符定义为 L^~=del ^2+k^2。格林函数则定义为

(del ^2+k^2)G(r_1,r_2)=delta^3(r_1-r_2).
(2)

定义基函数 phi_n 为齐次亥姆霍兹微分方程的解

del ^2phi_n(r)+k_n^2phi_n(r)=0.
(3)

格林函数可以根据 phi_ns 展开，

G(r_1,r_2)=sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1),
(4)

以及狄拉克δ函数为

delta^3(r_1-r_2)=sum_(n=0)^inftyphi_n(r_1)phi_n(r_2).
(5)

将 (◇) 和 (◇) 代入 (◇) 得到

del ^2[sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)]+k^2sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)=sum_(n=0)^inftyphi_n(r_1)phi_n(r_2).
(6)

使用 (◇) 得到

-sum_(n=0)^inftya_n(r_2)k_n^2phi_n(r_1)+k^2sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)=sum_(n=0)^inftyphi_n(r_1)phi_n(r_2)
(7)
sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)(k^2-k_n^2)=sum_(n=0)^inftyphi_n(r_1)phi_n(r_2).
(8)

此方程必须对每个 n 都成立，因此

a_n(r_2)phi_n(r_1)(k^2-k_n^2)=phi_n(r_1)phi_n(r_2)
(9)
a_n(r_2)=(phi_n(r_2))/(k^2-k_n^2),
(10)

并且 (◇) 可以写成

G(r_1,r_2)=sum_(n=0)^infty(phi_n(r_1)phi_n(r_2))/(k^2-k_n^2).
(11)

因此，(◇) 的通解是

psi(r_1)=intG(r_1,r_2)rho(r_2)d^3r_2
(12)
=sum_(n=0)^(infty)int(phi_n(r_1)phi_n(r_2)rho(r_2))/(k^2-k_n^2)d^3r_2.
(13)

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 529-530, 1985.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Green's Function--Helmholtz Differential Equation." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GreensFunctionHelmholtzDifferentialEquation.html

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