自伴

考虑一个二阶微分算子

(1)

其中 和 是 实函数，变量为 ，定义在感兴趣的区域 上，具有 阶连续导数，并且在 于 上成立。 这意味着在 中没有奇点。然后伴随算子 被定义为

			(2)
			(3)

为了使算子是自伴的，即

(4)

（◇）和（◇）中的第二项必须相等，因此

(5)

这也保证了第三项是相等的，因为

(6)

因此（◇）变为

			(7)
			(8)
			(9)

对应于勒让德微分方程和简谐运动方程的微分算子是自伴的，而对应于拉盖尔微分方程和埃尔米特微分方程的微分算子则不是。

一个非自伴二阶线性微分算子总是可以使用Sturm-Liouville 理论变换成自伴的。在特殊情况 下，（9）给出

(10)

(11)

(12)

(13)

其中 是一个积分常数。

一个满足边界条件的自伴算子

(14)

自动是一个埃尔米特算子。